С какой частотой будет вращаться платформа?

[Антон Огурцевич]

60. Платформа в виде диска радиусом R = 2 м и массой 120 кг вращается по инерции с частотой 6 об/мин. На краю платформы стоит человек, масса которого 80 кг. С какой частотой будет вращаться платформа, если человек перейдёт в её центр? Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение.  6 об/мин = 0,1 об/с.
 Для решения задачи применим закон сохранения момента импульса. Закон сохранения момента импульса вытекает из основного уравнения динамики вращательного движения тела, закрепленного в неподвижной точке, и состоит в следующем:
Если результирующий момент внешних сил относительно неподвижной точки тождественно равен нулю, то момент импульса тела относительно этой точки с течением времени не изменяется.
Момент импульса определяется по формуле:

L = J∙ω   (1).

ω – угловая скорость. J – момент инерции.

J₁∙ω₁  =  J₂∙ω₂   (2).

Момент инерции скалярная величина. Определим суммарный момент инерции в каждом случае относительно перпендикулярной оси, проходящей через центр большего диска.
Момент инерции твёрдого тела относительно какой-либо оси зависит от массы, формы и размеров тела, а также и от положения тела по отношению к этой оси. Согласно теореме Штейнера (теореме Гюйгенса-Штейнера), момент инерции тела J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела J₀ (J₀ – момент инерции диска с человеком) относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы тела m на квадрат расстояния r между осями:

\[ \begin{align}
  & {{J}_{1}}={{J}_{0}}+{{J}_{01}},{{J}_{1}}=\frac{M\cdot {{R}^{2}}}{2}+m\cdot {{R}^{2}}(3),{{J}_{2}}={{J}_{0}}+{{J}_{02}},{{J}_{2}}=\frac{M\cdot {{R}^{2}}}{2}(4). \\
 & {{\omega }_{1}}\cdot (\frac{M\cdot {{R}^{2}}}{2}+m\cdot {{R}^{2}})={{\omega }_{2}}\cdot \frac{M\cdot {{R}^{2}}}{2}.{{\omega }_{2}}=\frac{{{\omega }_{1}}\cdot (\frac{M\cdot {{R}^{2}}}{2}+m\cdot {{R}^{2}})}{\frac{M\cdot {{R}^{2}}}{2}}(5). \\
 & {{\omega }_{1}}=2\cdot \pi \cdot {{\nu }_{1}}(6),{{\omega }_{2}}=2\cdot \pi \cdot {{\nu }_{2}}(7),2\cdot \pi \cdot {{\nu }_{2}}=\frac{2\cdot \pi \cdot {{\nu }_{1}}\cdot (\frac{M\cdot {{R}^{2}}}{2}+m\cdot {{R}^{2}})}{\frac{M\cdot {{R}^{2}}}{2}}, \\
 & {{\nu }_{2}}=\frac{{{\nu }_{1}}\cdot (\frac{M\cdot {{R}^{2}}}{2}+m\cdot {{R}^{2}})}{\frac{M\cdot {{R}^{2}}}{2}}.{{\nu }_{2}}=\frac{0,1\cdot (\frac{120\cdot {{2}^{2}}}{2}+80\cdot {{2}^{2}})}{\frac{120\cdot {{2}^{2}}}{2}}=0,233. \\
\end{align}
 \]

J₀₂ =m∙ 0 так как человек переходит в центр платформы и расстояние между осями равно нулю. Ответ: 0,233 об/с.