Решение.
Нить с шариком массой
m1 отклоняют на угол α = 30° и отпускают без начальной скорости, определим высоту отклонения шарика и используя закон сохранения энергии определим скорость шарика в момент взаимодействия с другим шариком (рис 1).
\[ \frac{l-h}{l}=\cos \alpha ,h=l\cdot (1-\cos \alpha )(1).
\]
Запишем закон сохранения энергии:
\[ \begin{align}
& {{m}_{1}}\cdot g\cdot h=\ \frac{{{m}_{1}}\cdot \upsilon _{1}^{2}}{2},\ \ {{m}_{1}}\cdot g\cdot l\cdot (1-\cos \alpha )=\ \frac{{{m}_{1}}\cdot \upsilon _{1}^{2}}{2},\ g\cdot l\cdot (1-\cos \alpha )=\ \frac{\upsilon _{1}^{2}}{2}, \\
& \upsilon _{1}^{2}=2\cdot g\cdot l\cdot (1-\cos \alpha ),{{\upsilon }_{1}}=\sqrt{2\cdot g\cdot l\cdot (1-\cos \alpha )}(2). \\
\end{align} \]
Рассмотрим процесс столкновения шариков (неупругое взаимодействие). Запишем закон сохранения импульса (рис 2.) и определим скорость их совместного движения:
\[ {{m}_{1}}\cdot {{\vec{\upsilon }}_{1}}=({{m}_{1}}+{{m}_{2}})\cdot \vec{\upsilon }\ \ \ (3).
\]
Найдем проекции на ось
Ох:
\[ {{m}_{1}}\cdot {{\upsilon }_{1}}=({{m}_{1}}+{{m}_{2}})\cdot \upsilon ,\upsilon =\frac{{{m}_{1}}\cdot {{\upsilon }_{1}}}{({{m}_{1}}+{{m}_{2}})},\ \upsilon =\frac{{{m}_{1}}\cdot \sqrt{2\cdot g\cdot l\cdot (1-\cos \alpha )}}{({{m}_{1}}+{{m}_{2}})}\ \ (4). \]
Запишем закон сохранения энергии для двух шаров после неупругого взаимодействия:
\[ \begin{align}
& ({{m}_{1}}+{{m}_{2}})\cdot g\cdot {{h}_{1}}=\ \frac{({{m}_{1}}+{{m}_{2}})\cdot {{\upsilon }^{2}}}{2},\ g\cdot {{h}_{1}}=\ \frac{{{\upsilon }^{2}}}{2},\ {{h}_{1}}=\frac{{{\upsilon }^{2}}}{2\cdot g},\ \\
& {{h}_{1}}=\frac{m_{1}^{2}\cdot 2\cdot g\cdot l\cdot (1-\cos \alpha )}{2\cdot g\cdot {{({{m}_{1}}+{{m}_{2}})}^{2}}}=\frac{m_{1}^{2}\cdot l\cdot (1-\cos \alpha )}{{{({{m}_{1}}+{{m}_{2}})}^{2}}}.{{h}_{1}}=\frac{{{9}^{2}}\cdot 1,5\cdot (1-\frac{\sqrt{3}}{2})}{{{(9+12)}^{2}}}=0,037. \\
\end{align}
\]
Ответ: 37 мм.
