Найти нормальное и тангенциальное ускорение тела

[Антон Огурцевич]

58. Тело брошено со скоростью 15 м/с под углом 30° к горизонту. Найти нормальное и тангенциальное ускорение тела через 1,2 с после начала движения. Сопротивление воздуха не учитывать. Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение. Тело участвует в двух движениях:
Равномерном – относительно оси Ох и равнопеременном - относительно оси Оу с ускорением g = 10 м/с².
Зная время движения, определим приблизительное положение тела в пространстве. Движение тела брошенного под углом к горизонту описывается формулами:

\[ \begin{align}
  & x={{\upsilon }_{0x}}\cdot t,{{\upsilon }_{0x}}={{\upsilon }_{0}}\cdot \cos \alpha ,x={{\upsilon }_{0}}\cdot \cos \alpha \cdot t(1), \\
 & y={{\upsilon }_{0y}}\cdot t-\frac{g\cdot {{t}^{2}}}{2},{{\upsilon }_{0y}}={{\upsilon }_{0}}\cdot sin\alpha ,y={{\upsilon }_{0}}\cdot sin\alpha \cdot t-\frac{g\cdot {{t}^{2}}}{2}(2). \\
\end{align} \]

В конце полета координата y равна нулю, определим время полета:

\[ \begin{align}
  & 0={{\upsilon }_{0}}\cdot sin\alpha \cdot t-\frac{g\cdot {{t}^{2}}}{2},t\cdot ({{\upsilon }_{0}}\cdot sin\alpha -\frac{g\cdot t}{2})=0,t=0,{{\upsilon }_{0}}\cdot sin\alpha -\frac{g\cdot t}{2}=0, \\
 & \frac{g\cdot t}{2}={{\upsilon }_{0}}\cdot sin\alpha ,t=\frac{2\cdot {{\upsilon }_{0}}\cdot sin\alpha }{g}(3).t=\frac{2\cdot 15\cdot 0,5}{10}=1,5. \\
\end{align}
 \]

Координата y равна нулю в начале полета (t = 0) и в конце.
Тело на весь путь затратит 1,5 с, на половину пути 0,75 с. Через 1,2 с тело будет находиться на второй половине пути. Покажем рисунок и определим скорость в указанной точке.

\[ \begin{align}
  & {{\upsilon }_{x}}={{\upsilon }_{0}}\cdot \cos \alpha (5),{{\upsilon }_{y}}={{\upsilon }_{0}}\cdot sin\alpha -g\cdot t(6), \\
 & \upsilon =\sqrt{{{({{\upsilon }_{0}}\cdot \cos \alpha )}^{2}}+{{({{\upsilon }_{0}}\cdot sin\alpha -g\cdot t)}^{2}}}(7). \\
\end{align} \]

Запишем формулу для определения ускорений.

\[ \begin{align}
  & {{a}_{n}}=\frac{{{\upsilon }^{2}}}{R}\ \ \ (2),\ {{a}_{n}}=g\cdot \cos \varphi \ \ \ (3),\ \cos \varphi =\frac{{{\upsilon }_{x}}}{\upsilon },\ {{a}_{n}}=g\cdot \frac{{{\upsilon }_{0}}\cdot \cos \alpha }{\sqrt{{{({{\upsilon }_{0}}\cdot \cos \alpha )}^{2}}+{{({{\upsilon }_{0}}\cdot sin\alpha -g\cdot t)}^{2}}}}\ \ \ (8\,). \\
 & {{g}^{2}}=a_{n}^{2}+a_{\tau }^{2},\ a_{\tau }^{2}={{g}^{2}}-a_{n}^{2},\ {{a}_{\tau }}=\sqrt{{{g}^{2}}-{{(g\cdot \frac{{{\upsilon }_{0}}\cdot \cos \alpha }{\sqrt{{{({{\upsilon }_{0}}\cdot \cos \alpha )}^{2}}+{{({{\upsilon }_{0}}\cdot sin\alpha -g\cdot t)}^{2}}}})}^{2}}\ },\  \\
 & {{a}_{\tau }}=g\cdot \sqrt{1-{{(\frac{{{\upsilon }_{0}}\cdot \cos \alpha }{\sqrt{{{({{\upsilon }_{0}}\cdot \cos \alpha )}^{2}}+{{({{\upsilon }_{0}}\cdot sin\alpha -g\cdot t)}^{2}}}})}^{2}}\ }\ \ (9). \\
\end{align} \]

\[ \begin{align}
  & {{a}_{n}}=10\cdot \frac{15\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{{{(15\cdot \frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}+{{(15\cdot \frac{1}{2}-10\cdot 1,2)}^{2}}}}=9,45. \\
 & {{a}_{\tau }}=10\cdot \sqrt{1-{{(0,945)}^{2}}}=3,27. \\
\end{align}
 \]

\[ a_{\tau }^{2}={{g}^{2}}-a_{n}^{2},{{a}_{\tau }}=\sqrt{{{g}^{2}}-a_{n}^{2}}.{{a}_{\tau }}=\sqrt{{{10}^{2}}-{{(9,45)}^{2}}}=3,27. \]

Ответ: а_n = 9,45 м/с², а_τ = 3,27 м/с².