Через неподвижный блок в виде однородного сплошного цилиндра

[Антон Огурцевич]

48. Через неподвижный блок в виде однородного сплошного цилиндра массой 0,2 кг перекинута невесомая нить, к концам которой прикреплены тела массами 0,35 кг и 0,55 кг. Пренебрегая трением в оси блока, определите: 1) ускорение грузов; 2) отношение сил натяжения нити для второго и первого груза. Сделать рисунок.

[Gala]

На каждый груз действуют две силы: сила тяжести и сила натяжения нити. В силу того, что массой блока пренебречь нельзя, силы натяжения нити по обе стороны от блока будут различными.
1)   Так как m₂ > m₁,  первый груз будет двигаться вверх с ускорением а, а второй – с таким же по величине ускорением вниз. Запишем второй закон Ньютона для каждого из грузов в проекции на ось. направленную вертикально вверх. Для первого груза
T₁ – m₁g = m₁a,                     (1)
для второго груза
T₂-m₂g =- m₂a .                    (2)
   Под действием моментов сил натяжения T₁^| и  T₂^| относительно оси вращения блок приобретает угловое ускорение ε. Согласно основному уравнению динамики вращательного движения  \[T_2^/r - T_1^/r = I{\kern 1pt} \varepsilon ,\;\;\;\;\;
                                                  (3)\;\;\;\]
где r – радиус блока, I – момент инерции блока относительно оси вращения, который равен \[ I = \frac{{M{r^2}}}{2}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(4) \]
   Линейное ускорение грузов (и нити) равно тангенциальному ускорению точек блока, лежащих на его ободе, следовательно,\[\varepsilon  = \frac{a}{r}.\;\;\;\;\;\;\;\;\;(5)\]
Согласно третьему закону Ньютона, с учетом невесомости нити, \[{T_1} = {T_1}^\prime ,\;{T_2} = {T_2}^\prime .\]
 Воспользовавшись этим, подставим в уравнение (3) вместо  T₁^| и  T₂^|  выражения, полученные из уравнений (1) и (2), а вместо I и ε – выражения (4) и (5) и найдем а:
\[\begin{gathered}
  {T_1} = {m_1}a + {m_1}g \hfill \\
  {T_2} = {m_2}g - {m_2}a \hfill \\
  \left( {{m_2}g - {m_2}a} \right)r - \left( {{m_1}a + {m_1}g} \right)r = \frac{{M{r^2}}}{2}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \frac{a}{r}. \hfill \\
  {m_2}gr - {m_2}ar - {m_1}ar - {m_1}gr = \frac{{Mr}}{2}a \hfill \\
   - {m_2}a - {m_1}a - \frac{M}{2}a = {m_1}g - {m_2}g \hfill \\
  a\left( {{m_2} + {m_1} + \frac{M}{2}} \right) = g\left( {{m_2} - {m_1}} \right) \hfill \\
  a = \frac{{g\left( {{m_2} - {m_1}} \right)}}{{{m_2} + {m_1} + \frac{M}{2}}}. \hfill \\
\end{gathered} \]
\[a = \frac{{0,55 - 0,35}}{{0,55 + 0,35 + \frac{{0,2}}{2}}} \cdot 9,8 = 1,96.\]
2)   Отношение сил натяжения:
\[ \frac{{{T_2}}}{{{T_1}}} = \frac{{{m_2}\left( {g - a} \right)}}{{{m_1}\left( {a + g} \right)}} = \frac{{0,55\left( {9,8 - 1,96} \right)}}{{0,35\left( {1,96 + 9,8} \right)}} = 1,05. \]
Ответ: 1,96 м/с²; 1,05.