С башни высотой

[Антон Огурцевич]

22. С башни высотой 30 м в горизонтальном направлении брошено тело с начальной скоростью 10 м/с. Определите: 1) уравнение траектории тела y(x); 2) скорость тела v в момент падения на землю; 3) угол φ, который образует эта скорость с горизонтом в точке его падения. Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение.Тело участвует в двух движениях:
Равномерном – относительно оси Ох и равнопеременном - относительно оси Оу с ускорением g = 10 м/с².
Запишем уравнение движения относительно оси Ох

\[ \begin{align}
  & \vec{s}=\vec{\upsilon }\cdot t,\, \\
 & Ox:\,\,s={{\upsilon }_{x}}\cdot t,s=x-{{x}_{0}},x-{{x}_{0}}={{\upsilon }_{x}}\cdot t,x={{x}_{0}}+{{\upsilon }_{x}}\cdot t,{{x}_{0}}=0,{{\upsilon }_{x}}={{\upsilon }_{0}},x={{\upsilon }_{0}}\cdot t(1). \\
\end{align} \]

Запишем уравнение движения относительно оси Оу

\[ y={{h}_{0}}+{{\vec{\upsilon }}_{0}}\cdot t+\frac{\vec{g}\cdot {{t}^{2}}}{2} \]

Найдем проекции на ось Оу:

\[ y=\frac{g\cdot {{t}^{2}}}{2}(2). \]

Из (1) выразим время, время подставим в (2) запишем уравнение траектории

\[ t=\frac{x}{{{\upsilon }_{0}}},y=\frac{g\cdot {{x}^{2}}}{2\cdot \upsilon _{0}^{2}}(3).y=\frac{10\cdot {{x}^{2}}}{2\cdot {{10}^{2}}},y=\frac{{{x}^{2}}}{20},y=0,05\cdot {{x}^{2}}(4). \]

Определим скорость тела в момент падения о Землю

\[ \begin{align}
  & \upsilon =\sqrt{\upsilon _{x}^{2}+\upsilon _{y}^{2}},\ {{\upsilon }_{x}}={{\upsilon }_{0}},{{\upsilon }_{y}}=g\cdot t,t=\sqrt{\frac{2\cdot h}{g}},{{\upsilon }_{y}}=g\cdot \sqrt{\frac{2\cdot h}{g}}, \\
 & \upsilon =\sqrt{\upsilon _{0}^{2}+{{(g\cdot \sqrt{\frac{2\cdot h}{g}})}^{2}}}(5).\,\upsilon =\sqrt{{{10}^{2}}+{{(10\cdot \sqrt{\frac{2\cdot 30}{10}})}^{2}}}=26,46. \\
\end{align} \]

Определим угол φ, который образует эта скорость с горизонтом в точке его падения   

\[ \begin{align}
  & \cos \varphi =\frac{{{\upsilon }_{x}}}{\upsilon }(6).\cos \varphi =\frac{10}{26,46}=0,3779. \\
 & \varphi ={{68}^{0}}. \\
\end{align}
 \]

Ответ: Уравнение траектории у = 0,05∙х², υ = 26,46 м/с, φ = 68°.