Точка движется в плоскости

[Антон Огурцевич]

24. Точка движется в плоскости xy из положения с координатами x₁ = y₁ = 0 со скоростью v(вектор) = a∙i(вектор) + b∙x∙j(вектор) (a, b - постоянные, i(вектор), j(вектор) - орты осей x, y). Определите: 1) уравнение траектории точки y(x); 2) форму траектории. Сделать рисунок.

[Виктор]

Решение: согласно условия задачи
\[ \vec{\upsilon }=a\cdot \vec{i}+b\cdot x\cdot \vec{j}. \]
В общем случае разложение выглядит так
\[ \vec{\upsilon }={{\upsilon }_{x}}\cdot \vec{i}+{{\upsilon }_{y}}\cdot \vec{j}. \]
Таким образом:
\[ {{\upsilon }_{x}}=a,\text{     }{{\upsilon }_{y}}=b\cdot x. \]
Элементарное приращение координат:
\[ dx={{\upsilon }_{x}}\cdot dt=a\cdot dt,\text{         }dy={{\upsilon }_{y}}\cdot dt=b\cdot x\cdot dt. \]
Разделим друг на друга
\[ \frac{dx}{dy}=\frac{a\cdot dt}{b\cdot x\cdot dt.}=\frac{a}{b\cdot x}\text{,        }dy=\frac{b\cdot x}{a}\cdot dx. \]
Проинтегрировав, получим уравнение траектории:
\[ y=\int{dy}=\int{\frac{b\cdot x}{a}\cdot dx=}\frac{b}{a}\int{x\cdot dx=}\frac{b}{2\cdot a}\cdot {{x}^{2}}. \]
Это уравнение параболы.
Ответ: 1) \[ y=\frac{b}{2\cdot a}\cdot {{x}^{2}}. \]  2) парабола.