Система грузов массами

[Антон Огурцевич]

30. Система грузов массами 0,5 кг и 0,6 кг находится в лифте, движущемся вверх с ускорением 4,9 м/с². Определите силу натяжения нити, если коэффициент трения между первым грузом и опорой 0,1. Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение.  Покажем силы, которые действуют на каждое тело и ускорения, с которыми движутся тела.
Где: а₁ – ускорение грузов относительно стола на котором находятся грузы.Применим второй закон Ньютона для первого тела и определим проекции на ось Ох и Оу:

\[ \begin{align}
  & \vec{F}={{m}_{1}}\cdot \vec{a},{{{\vec{F}}}_{H}}+{{m}_{1}}\cdot \vec{g}+{{{\vec{F}}}_{Tp}}+\vec{N}={{m}_{1}}\cdot {{{\vec{a}}}_{1}}+{{m}_{1}}\cdot \vec{a}. \\
 & Ox:{{F}_{H}}-{{F}_{Tp}}={{m}_{1}}\cdot {{a}_{1}}(1), \\
 & Oy:N-{{m}_{1}}\cdot g={{m}_{1}}\cdot a(2), \\
 & {{F}_{Tp}}=\mu \cdot N(3). \\
\end{align} \]

Применим второй закон Ньютона для второго тела и определим проекции на ось Оу:

\[ \begin{align}
  & \vec{F}={{m}_{2}}\cdot \vec{a},{{{\vec{F}}}_{H}}+{{m}_{2}}\cdot \vec{g}={{m}_{2}}\cdot {{{\vec{a}}}_{1}}+{{m}_{2}}\cdot \vec{a}. \\
 & Oy:{{F}_{H}}-{{m}_{2}}\cdot g={{m}_{2}}\cdot a-{{m}_{2}}\cdot {{a}_{1}}(4). \\
\end{align}
 \]

Решая систему уравнений (1) – (3). Из (2) выразим N, N подставим в (3), (3) подставим в (1) выразим ускорение грузов относительно стола.

\[ \begin{align}
  & N={{m}_{1}}\cdot g+{{m}_{1}}\cdot a,N={{m}_{1}}\cdot (g+a),{{F}_{Tp}}=\mu \cdot {{m}_{1}}\cdot (g+a), \\
 & {{F}_{H}}-\mu \cdot {{m}_{1}}\cdot (g+a)={{m}_{1}}\cdot {{a}_{1}},{{a}_{1}}=\frac{{{F}_{H}}-\mu \cdot {{m}_{1}}\cdot (g+a)}{{{m}_{1}}}, \\
 & {{a}_{1}}=\frac{{{F}_{H}}}{{{m}_{1}}}-\frac{\mu \cdot {{m}_{1}}\cdot (g+a)}{{{m}_{1}}},{{a}_{1}}=\frac{{{F}_{H}}}{{{m}_{1}}}-\mu \cdot (g+a)(5). \\
\end{align}
 \]

(5) подставим в (4) определим силу натяжения нити

\[ \begin{align}
  & {{F}_{H}}={{m}_{2}}\cdot g+{{m}_{2}}\cdot a-{{m}_{2}}\cdot {{a}_{1}},{{F}_{H}}={{m}_{2}}\cdot g+{{m}_{2}}\cdot a-{{m}_{2}}\cdot (\frac{{{F}_{H}}}{{{m}_{1}}}-\mu \cdot (g+a)), \\
 & {{F}_{H}}={{m}_{2}}\cdot g+{{m}_{2}}\cdot a-{{m}_{2}}\cdot \frac{{{F}_{H}}}{{{m}_{1}}}+{{m}_{2}}\cdot \mu \cdot (g+a),{{F}_{H}}+{{m}_{2}}\cdot \frac{{{F}_{H}}}{{{m}_{1}}}={{m}_{2}}\cdot g+{{m}_{2}}\cdot a+{{m}_{2}}\cdot \mu \cdot (g+a), \\
 & {{F}_{H}}\cdot (1+\frac{{{m}_{2}}}{{{m}_{1}}})={{m}_{2}}\cdot g+{{m}_{2}}\cdot a+{{m}_{2}}\cdot \mu \cdot (g+a),{{F}_{H}}=\frac{{{m}_{2}}\cdot g+{{m}_{2}}\cdot a+{{m}_{2}}\cdot \mu \cdot (g+a)}{1+\frac{{{m}_{2}}}{{{m}_{1}}}}, \\
 & {{F}_{H}}=\frac{{{m}_{1}}\cdot {{m}_{2}}\cdot (g+a+\mu \cdot (g+a))}{{{m}_{1}}+{{m}_{2}}}(6). \\
 & {{F}_{H}}=\frac{0,5\cdot 0,6\cdot (10+4,9+0,1\cdot (10+4,9))}{0,5+0,6}=4,47. \\
\end{align}
 \]

Ответ: 4,47 Н.