Определите положение центра масс системы, состоящей из четырёх шаров

[Антон Огурцевич]

31. Определите положение центра масс системы, состоящей из четырёх шаров, массы которых равны соответственно m, 2∙m, 3∙m и 4∙m, в следующих случаях: а) шары расположены на одной прямой; б) шары расположены по вершинам квадрата; в) шары расположены по четырём смежным вершинам куба. Во всех случаях расстояние между соседними шарами равно 15 см. Направление координатных осей показано на рисунке. Сделать рисунок.

[Gala]

Координаты центра масс определяются следующим образом:
\[ \begin{gathered}
  {x_C} = \frac{{\sum\limits_{i = 1}^n {{x_i} \cdot {m_i}} }}{{\sum\limits_{i = 1}^n {{m_i}} }} = \frac{{{x_1}{m_1} + {x_2}{m_2} + {x_3}{m_3} + {x_4}{m_4}}}{{{m_1} + {m_2} + {m_3} + {m_4}}},\,\, \hfill \\
  {y_C} = \frac{{\sum\limits_{i = 1}^n {{y_i} \cdot {m_i}} }}{{\sum\limits_{i = 1}^n {{m_i}} }} = \frac{{{y_1}{m_1} + {y_2}{m_2} + {y_3}{m_3} + {y_4}{m_4}}}{{{m_1} + {m_2} + {m_3} + {m_4}}}, \hfill \\
  {z_C} = \frac{{\sum\limits_{i = 1}^n {{z_i} \cdot {m_i}} }}{{\sum\limits_{i = 1}^n {{m_i}} }} = \frac{{{z_1}{m_1} + {z_2}{m_2} + {z_3}{m_3} + {z_4}{m_4}}}{{{m_1} + {m_2} + {m_3} + {m_4}}}. \hfill \\
\end{gathered} \]
а) совмещаем начало координат с первым шаром m и применяем формулу координаты х_С центра масс:
\[ {x_C} = \frac{{0 \cdot m + 15 \cdot 2m + 30 \cdot 3m + 45 \cdot 4m}}{{m + 2m + 3m + 4m}} = 30. \]
б) совмещаем начало координат с шаром 4m и применяем формулу координат х_С  и y_C центра масс:
\[ \begin{gathered}
  {x_C} = \frac{{0 \cdot m + 15 \cdot 2m + 15 \cdot 3m + 0 \cdot 4m}}{{m + 2m + 3m + 4m}} = 7,5 \hfill \\
  {y_C} = \frac{{15 \cdot m + 15 \cdot 2m + 0 \cdot 3m + 0 \cdot 4m}}{{m + 2m + 3m + 4m}} = 4,5. \hfill \\
\end{gathered} \]
в) совмещаем начало координат с шаром 4m и применяем формулу координат х_С  y_C и z_C центра масс:
\[ \begin{gathered}
  {x_C} = \frac{{0 \cdot m + 0 \cdot 2m + 15 \cdot 3m + 0 \cdot 4m}}{{m + 2m + 3m + 4m}} = 4,5 \hfill \\
  {y_C} = \frac{{15 \cdot m + 0 \cdot 2m + 0 \cdot 3m + 0 \cdot 4m}}{{m + 2m + 3m + 4m}} = 1,5, \hfill \\
  {z_C} = \frac{{0 \cdot m + 15 \cdot 2m + 0 \cdot 3m + 0 \cdot 4m}}{{m + 2m + 3m + 4m}} = 3,0. \hfill \\
\end{gathered} \]
Ответ: а) х_С = 30 см, б) х_С = 7,5 см, y_С = 4,5 см; в) х_С = 4,5 см, y_С =1,5 см, z_C= 3см.