ЗСЭ в цепи с конденсаторами

[Сергей Федорино]

В электрической схеме в начальный момент времени ключ К замкнут. Какое количество теплоты выделится в цепи после размыкания ключа? Сопротивления R₁, R₂, ёмкости С₁, С₂ и ЭДС батареи Е считать заданными. Внутренним сопротивлением батареи пренебречь.

Дано: R₁ = 100 кОм; R₂ = 200 кОм; С₁ = 20 мкФ; С₂ = 30 мкФ; Е = 45 В; r = 0.

[Сергей Федорино]

Мои рассуждения следующие:
I) Ключ замкнут. Напряжение на первом конденсаторе 15 В, напряжение на втором конденсаторе 30 В. Накопленный заряд на первом конденсаторе 300 мкКл, на втором конденсаторе 900 мкКл. Знаки зарядов на обкладках, как и у источника тока: левые пластины "+", правые "-". Энергия первого конденсатора 2,25 мДж, энергия второго конденсатора 13,5 мДж. Полная энергия системы конденсаторов при замкнутом ключе равна 15,75 мДж.

II) Ключ разомкнут. Установившийся режим. Переполюсовки пластин не происходит, то есть знаки зарядов, как и при замкнутом ключе. Напряжение на первом конденсаторе 27 В, на втором конденсаторе 18 В. Заряды на конденсаторах одинаковые и равны по 540 мкКл. Энергия первого конденсатора 7,29 мДж, энергия второго конденсатора 4,86 мДж. Полная энергия системы конденсаторов 12,15 мДж.

В результате получили, что заряд на первом конденсаторе увеличился на +240 мкКл, а на втором конденсаторе уменьшился на -360 мкКл. Я утверждаю, что заряд со второго конденсатора "пошел" на дозарядку первого конденсатора и часть прошло через источник тока против ЭДС. По моим рассуждениям ЗСЭ в этом случае можно записать так:

45^.((540 - 300)+(540 - 900))10^-6 = (12,15 - 15,75)10^-3 + Q

При этом Q = -1,8 мДж.

Или рассуждать надо так: первый конденсатор "берёт" дополнительный заряд +240 мкКл от источника тока, а второй конденсатор "отдаёт" свои -360 мкКл на джоулевое тепло. Тогда ЗСЭ в этом случае можно записать так:

45^.(540 - 300)10^-6 = (12,15 - 15,75)10^-3 + Q

При этом Q = +14,4 мДж. Научите, пожалуйста, правильно рассуждать в такого плана задачах!!!

[alsak]

Какое количество теплоты выделится в цепи после размыкания ключа?

После размыкания ключа через резисторы будет продолжать течь ток. Поэтому необходимо указать еще промежуток времени.
Кроме того, еще на резисторах некоторое время может дополнительно (кроме тока источника) проходить ток перезарядки конденсаторов, который приведет к выделению теплоты. Автор задачи, скорее всего, имел в виду именно эту теплоту.

Мои рассуждения следующие:
…
II) Ключ разомкнут. Установившийся режим. Переполюсовки пластин не происходит, то есть знаки зарядов, как и при замкнутом ключе. Напряжение на первом конденсаторе 27 В, на втором конденсаторе 18 В. Заряды на конденсаторах одинаковые и равны по 540 мкКл. Энергия первого конденсатора 7,29 мДж, энергия второго конденсатора 4,86 мДж. Полная энергия системы конденсаторов 12,15 мДж.

А вот здесь есть ошибки.
1) При последовательном соединении конденсаторов заряды равны только в том случае, если суммарный заряд пластин конденсатора, соединенных между собой (правая пластина для С₁ и левая для С₂), будет равен нулю. Это возможно, если соединяли или незаряженные конденсаторы (что чаще всего и встречается в задачах), или с равными зарядами, но соединенными разноименными полюсами.
А здесь не так. До размыкания ключа на конденсаторах заряды были 300 мкКл и 900 мкКл. Тогда суммарный заряд соединенных пластин (с учетом знаков) между ними будет q₀ = 600 мкКл. После размыкания ключа этот заряд должен сохраниться (закон сохранения заряда в замкнутой системе). Для нахождения новых зарядов (q₃ и q₄) можно решить систему уравнений:
\[q_{4} -q_{3} =q_{0} ,\; \; U_{3} +U_{4} =E.\]
Например, так:
\[\frac{q_{3} }{C_{1} } +\frac{q_{4} }{C_{2} } =\frac{q_{3} }{C_{1} } +\frac{q_{0} +q_{3} }{C_{2} } =E,\; \; q_{3} \cdot \frac{C_{1} +C_{2} }{C_{1} \cdot C_{2} } =\frac{E\cdot C_{2} -q_{0} }{C_{2} } ,\; \; q_{3} =\frac{E\cdot C_{2} -q_{0} }{C_{1} +C_{2} } \cdot C_{1} ,\]
q₃ = 300 мкКл, q₄ = 900 мкКл.
Заряд конденсаторов не поменялся (Интересный результат). Следовательно, все остальные рассуждения, описанные вами, здесь не применимы.

Чтобы отвечать на остальные ваши вопросы - нужно менять условие задачи.

[Сергей Федорино]

Спасибо!
Есть тема для рассуждения и самообразования!