Репетиционное тестирование 2 этап 2009/2010

[alsak]

Вариант 3 B11. Нагревательный элемент сопротивлением R = 8,0 Ом подключен к источнику постоянного тока, коэффициент полезного действия которого η = 80 % при данной нагрузке. Если максимальная мощность, которую этот источник может отдать нагрузке, P_max = 32 Вт, то ЭДС E источника равна … В.
Решение. КПД источника 

\[
\eta = \frac{R}{R+r}, \]

где r — сопротивление источника тока.  Мощность, которую источник может отдать нагрузке, равна 

\[
P = I^2 \cdot R = \left( \frac{E}{R+r} \right)^2 \cdot R. \]

Мощность максимальна при условии, что внутреннее сопротивление источника r равно некоторому внешнему сопротивлению R₁, т.е. 

\[
P_{max} = \left( \frac{E}{r+r} \right)^2 \cdot r = \frac{E^2}{4r} \]

(доказательство можно посмотреть, например, здесь: Савченко Н.Е. Решение задач по физике № 589).
Тогда

\[
E = \sqrt{4P_{max} \cdot R \cdot \frac{1 - \eta}{\eta}}, \]

E = 16 В.

[Sleepy]

Спасибо, я невнимательно прочитал условие, не заметил, что внешнюю нагрузку можно менять, - теперь все ясно!

[alsak]

Вариант 3 B12. В калориметр (C = 1000 Дж/К) помещен образец радиоактивного изотопа кобальта \(
{}_{27}^{61}Co \)  массой m₀ = 5,1⋅10^–9 кг. Если при распаде одного ядра изотопа кобальта выделяется энергия W = 2,0⋅10^–13 Дж, то через промежуток времени, равный периоду полураспада, повышение температуры ΔT калориметра будет равно … К.
Решение. Найдем сколько атомов (ядер) в изотопе кобальта массой m₀: 

\[
N_0 = \frac{m_0 \cdot N_A}{M}, \]

где M = 61⋅10^–3 кг/моль — молярная масса изотопа (A = 61), N_A – постоянная Авогадро. За время, равное периоду полураспада, распадется половина ядер, т.е. N = N₀/2. При этом выделится энергия, равная W₀ = N⋅W, которая и пойдет на нагревание калориметра, т.е. N⋅W = Q = C⋅ΔT. В итоге получаем

\[
\frac{m_0 \cdot N_A}{2M} \cdot W = C \cdot \Delta T, \quad
\Delta T = \frac{m_0 \cdot N_A \cdot W}{2M \cdot C}, \]

ΔT = 5 K.

[alsak]

А теперь несколько задач, взятых из сборников задач для вузов (например, Волькенштейн В. С. Сборник задач по общему курсу физики. — М.: Наука, 1985. — 384 с.). Это называется в 2010 году «упростили» уровень задач.

Вариант 3 A9. Капелька воды (ρ = 1,0 г/см³), взвешенная в воздухе, движется со средней квадратичной скоростью υ_cp = 1,7 мм/с. Если радиус капельки r = 1,0⋅10^–6 м, то температура t воздуха равна

1) 19 °С; 2) 21 °С; 3) 25 °С; 4) 27 °С; 5) 30 °С.

Примечание. Объем шара определяется по формуле
\[
V = \frac{4}{3} \pi \cdot R^3. \]

Решение. В этой задаче формулу для расчета средней квадратичной скорости молекул газа можно применять и для взвешенной частицы (?!), т.е.

\[
\frac{m \cdot \upsilon_{cp}^2}{2} = \frac{3}{2} k \cdot T,
 \quad m = \rho \cdot V = \frac{4}{3} \pi \cdot R^3 \cdot \rho. \]

Тогда

\[
t = T - 273 = \frac{4 \pi \cdot R^3 \cdot \rho \cdot \upsilon_{cp}^2}{9k} - 273, \]

t = 19 °С. Ответ: 1) 19 °С.
Подобная задача в книге [Волькенштейн В. С. Сборник задач ... — № 5.54]

Вариант 3 В6. Шахта глубиной h = 229 м пробурена в склоне горы и имеет горизонтальный выход (см. рис.). Температура наружного воздуха t₁ = 0 °С, температура воздуха внутри шахты t₂ = 14 °С. Вертикальный ствол шахты имеет сечение S = 3,5 м². Давление воздуха (M = 29 г/моль) на уровне горизонтального ствола шахты p₀ = 1,0⋅10⁵ Па. Модуль минимальной силы F, которую необходимо приложить к крышке массой m = 35 кг, чтобы герметично закрыть сверху вертикальный ствол шахты, равен … Н.
 
Решение. На крышку будут действовать следующие силы: m⋅g — сила тяжести (направлена вниз), F — сила, которую необходимо приложить к крышке (вниз), F₁ — сила атмосферного давления снаружи (вниз), F₂ — сила атмосферного давления в шахте (вверх). Так как крышка должна быть неподвижна, то

m⋅g + F + F₁ = F₂ или F = F₂ – F₁ – m⋅g.

Силы атмосферного давления равны: F₁ = p₁⋅S, F₂ = p₂⋅S. А теперь применяем барометрическую формулу (?!) (ее, оказывается, теперь нужно знать для сдачи ЦТ) 

\[
p_1 = p_0 \cdot e^{- \frac{M \cdot g \cdot h}{R \cdot T_1}},
 \quad
p_2 = p_0 \cdot e^{- \frac{M \cdot g \cdot h}{R \cdot T_2}}. \]

Тогда

\[
F = (p_2 - p_1) \cdot S - m \cdot g =
\left( e^{- \frac{M \cdot g \cdot h}{R \cdot T_2}} -
e^{- \frac{M \cdot g \cdot h}{R \cdot T_1}} \right)
\cdot p_0 \cdot S - m \cdot g, \]

F = 136 Н.
Задачи на расчет атмосферного давления смотри в книге [Волькенштейн В. С. Сборник задач ... — № 5.106-108]

Продолжение обсуждения задачи см. здесь, здесь и здесь.

[Sleepy]

Эти две задачи весьма странные, особенно с барометрической формулой, я все же склоняюсь к мысли, что ее предполагалось решать без этой формулы, принимая постоянными концентрации, что делает эту задачу неоднозначной, чего не должно быть на ЦТ, ведь ответы разные

[alsak]

я все же склоняюсь к мысли, что ее предполагалось решать без этой формулы, принимая постоянными концентрации...

На каком основании считать концентрацию постоянной? У нас нет герметически закрытого сосуда.
А эти две задачи считаются стандартными (т.е. встречаются в нескольких распространенных сборниках задач). Единственное "НО" - это сборники для студентов вузов.

[dx/dt]

А теперь применяем барометрическую формулу (?!) (ее, оказывается, теперь нужно знать для сдачи ЦТ) 

знать не нужно, и применять в этой задаче  распределение Больцмана нет необходимости...
Из уравнения Менделеева-Клапейрона находим плотность воздуха на нулевой высоте:
пл1=p0*M/(R*T1) - снаружи,
пл2=p0*M/(R*T2) -внутри шахты.
Далее, поскольку высота 229 м незначительна, и плотность воздуха почти не меняется на такой высоте, можно найти давления на высоте 229 м:
p1=p0-пл1*g*h - давление воздуха снаружи на высоте 229м,
p2=p0-пл2*g*h - давление воздуха внутри шахты на высоте 229м,
т.е. от давления на нулевой высоте отнимаем "гидростатическое" давление столбика воздуха.

Математически это то же самое, что разложить в ряд ф-цию p=p0*exp(...) и взять первых два слагаемых, ну это так, сказано к слову для тех, кто понимает...

Потом находим разность давлений p2-p1, а дальше решается просто.
Кстати, ответ получается тот же, что и при исп. барометрической формулы.

... ну или почти тот же, решал 4 вариант

[alsak]

Кстати, ответ получается тот же, что и при исп. барометрической формулы.

... ну или почти тот же, решал 4 вариант

Этот метод решения разобран на сайте fizportal (ссылку на него я давал здесь). И там показано, что ответ по этому способу для 3 варианта 150 Н. А через барометрическую формулу - 136 Н. Ничего себе "почти тот же", особенно для части В.
Скорее всего ошибка этого метода в том, что нельзя пренебрегать изменением плотности.

[alsak]

Об изменении плотности в задаче Вариант 3 В6.
Немного теории из книги
Савельев И.В. Курс общей физики, том I. Механика, колебания и волны, молекулярная физика. — М., Издательство «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, 1970. — С. 368-369.
Для случая, когда температура постоянна, зависимость давления от высоты выражается формулой:

\[
p = p_0 \cdot e^{- \frac{M \cdot g \cdot h}{R \cdot T}}. \quad (1) \]

Заменив давление p через n⋅k⋅T. Получим закон изменения с высотой концентрации

\[
n = n_0 \cdot e^{- \frac{M \cdot g \cdot h}{R \cdot T}}. \]

Так как плотность газа ρ = m₀⋅n, где m₀ — масса молекулы воздуха (величина постоянная), то плотность воздуха будет изменяться по такому же закону:

\[
\rho = \rho_0 \cdot e^{- \frac{M \cdot g \cdot h}{R \cdot T}}. \]

Эту же формулу можно получить и из уравнения Менделеева-Клапейрона и формулы 1. Такой метод разобран в книге «Все решения к «Сборнику задач по общему курсу физики» В.С Волькенштейн..». № 5.109-111.
Найдем на сколько изменяется плотность воздуха снаружи при данных условиях:

\[
\frac{\rho_0 - \rho}{\rho_0} = 1- e^{- \frac{M \cdot g \cdot h}{R \cdot T}} = 3 %. \]

Как показывают ответы решения задач двумя способами, пренебрегать этими 3 % нельзя.

PS А какая температура воздуха в шахте около нижнего отверстия?
Если такая же, как снаружи (отверстие открыто), то барометрической формулой можно пользоваться с приближением, т.к. она применяется только для постоянной температуры. А можно ли пренебречь изменением температуры?
Если такая же как во всей шахте, т.е. постоянная, то как объяснить разность температур снаружи и внутри?

[alex-rawen]

Условия первого, второго и третьего этапов можно скачать в архиве:
Архив(скачать)/ЦТ/Тесты.