Два точечных груза

[kitten19939]

Два точечных груза с массами m₁ и m₂ соединены невесомым жестким стержнем длиной l. Система может вращаться в вертикальной плоскости относительно горизонтальной оси, проходящей через середину стержня. Стержень приводят в горизонтальное положение и отпускают. С какой силой стержень действует на ось в начальный момент? Каково угловое ускорение стержня в момент, когда он образует угол α с вертикалью?

[alsak]

Пусть m₂ > m₁. Тогда стержень начнет вращаться по часовой стрелке относительно точки O под действием вращающего момента M = m₂⋅g⋅l₁ – m₁⋅g⋅l₁, где l₁ = AO = OB = l/2 (рис. 1).
Момент инерции грузов I = (m₂ + m₁)⋅l₁². Найдем угловое ускорение в начальный момент времени:

\[
\epsilon_0 = \frac{M}{I} = \frac{(m_2-m_1) \cdot g \cdot l_1}
{(m_2+m_1) \cdot l_1^2} =
\frac{(m_2-m_1) \cdot 2g}{(m_2+m_1) \cdot l}. \]

Аналогично найдем угловое ускорение в момент, когда стержень образует угол α с вертикалью, только плечи сил тяжести будут равны l₂ = A₁O = B₁O = l₁⋅sin α (рис. 2):

\[
\epsilon_1 = \frac{(m_2-m_1) \cdot g \cdot l_2}{(m_2+m_1) \cdot l_1^2} =
\frac{(m_2-m_1) \cdot 2g \cdot \sin \alpha}{(m_2+m_1) \cdot l}. \]

Для нахождения силы, с которой стержень действует на ось в начальный момент времени, запишем второй закон Ньютона для центра масс системы (точка С) в проекциях на ось Y (рис. 3):
 

–(m₁ + m₂)⋅a_c = N – (m₁ + m₂)⋅g,

где ускорение центра масс в начальный момент времени является тангенциальным ускорением системы, т.е. a_c = ε₀⋅r, а r — радиус вращения центра масс, который равен:

\[
r=OC=\frac{-m_1 \cdot l_1 + m_2 \cdot l_1}{m_1+m_2} =
\frac{(m_2 - m_1) \cdot l}{2(m_1+m_2)}. \]

В итоге получаем

\[
a_c = \frac{(m_2-m_1) \cdot 2g}{(m_2+m_1) \cdot l} \cdot
\frac{(m_2 - m_1) \cdot l}{2(m_1+m_2)}=
\frac{(m_2-m_1)^2}{(m_2+m_1)^2} \cdot g, \quad
N=(m_2+m_1) \cdot (g-a_c)= \frac{4m_1 \cdot m_2}{m_2+m_1} \cdot g. \]