Вариант 1 В6.В сосуде, закрытом крышкой, находится воздух (
М = 29 г/моль ) при температуре
t = 17 °С под давлением
р1 = 100 кПа. На прикрепленной к крышке легкой пружине жесткостью
k = 4,0 Н/м висит и не касается дна и стенок сосуда тело объемом
V = 2,0 дм
3. Если после подкачки воздуха давление в сосуде увеличилось в пять раз, а температура осталась прежней, то расстояние Δ
h, на которое поднялось тело, равно ...
мм.
Решение. На тело, висящего на пружине, действуют сила тяжести
m⋅g (направленная вниз), сила упругости
Fu =
k⋅Δ
l (направлена вверх) и архимедова сила
Fa = ρ⋅
g⋅V (направлена вверх). Изменение высоты тела на пружине объясняется изменением давления воздуха (и плотности), что приводит к изменению архимедовой силы, действующей на тело. Найдем плотности воздуха в первом случае и втором:
\[
p \cdot V = \frac{m}{M} \cdot R \cdot T, \quad
\rho = \frac{m}{V} = \frac{p \cdot M}{R \cdot T}, \quad
\rho_1 = \frac{p_1 \cdot M}{R \cdot T}, \quad
\rho_2 = \frac{p_2 \cdot M}{R \cdot T}, \]
где
p2 = 5
p1 = 500 кПа, а
T = 290 К «температура осталась прежней». Запишем условия равновесия тела в проекции на вертикальную ось (направленную вверх) для первого случая и второго:
k⋅Δl1 + ρ1⋅g⋅V – m⋅g = 0, k⋅Δl2 + ρ2⋅g⋅V – m⋅g = 0.
Расстояние, на которое поднялось тело Δ
h = Δ
l1 – Δ
l2. Тогда
\[
\Delta l_1 = \frac{m \cdot g}{k} - \frac{ \rho_1 \cdot g \cdot V}{k}, \quad
\Delta l_2 = \frac{m \cdot g}{k} - \frac{ \rho_2 \cdot g \cdot V}{k}, \]
\[
\Delta h = \left ( \rho_2 - \rho_1 \right ) \cdot \frac{g \cdot V}{k} =
\left (p_2 - p_1 \right ) \cdot \frac{g \cdot V \cdot M}{k \cdot R \cdot T}, \]
Δh =
24 мм.
