Вступительный экзамен июнь 2009 года

[alsak]

Здесь будут разобраны задачи вступительного экзамена во все лицеи Могилевской области (республика Беларусь), который проходил 16 июня 2009 года.

Условия контрольной работы можно посмотреть здесь.

[alsak]

1. (1,5 балла). Вместимость цистерны 60 м³. Сколько тонн бензина можно в нее налить? Плотность бензина 700 кг/м³.

А) 700 т. Б) 60 т. В) 42 т. Г) 420 т.

Решение. Масса бензина равна

m = ρ⋅V, m = 700 ⋅ 60 = 42000 (кг) = 42 (т).

Ответ. В) 42 т.

2. (2,5 балла). Автобус первые 4 км пути проехал за 12 мин, а следующие 12 км — за 18 мин. Определите среднюю скорость автобуса на всем пути.

А) 53 м/с. Б) 0,5 м/с. В) 91 м/с. Г) 9 м/с.

Решение. Средняя скорость автомобиля равна

\[
\upsilon = \frac{s}{t} = \frac{s_1 + s_2}{t_1 + t_2}, \]

где 4 км = 4000 м, 12 км = 12000 м, 12 мин = 720 с, 18 мин = 1080 с. Тогда

\[
\upsilon = \frac{4000 + 12000}{720 + 1080} \approx 9, \]

Ответ. Г) 9 м/с.

3. (5 баллов). Аквариум необходимо наполнить водой. Сколько ведер воды потребуется, если в ведро входит 10 кг воды, а размеры аквариума таковы: длина 1 м, ширина 0,5 м, а уровень воды в нем должен быть 70 см? Плотность воды 1000 кг/м³.

А) 50. Б) 35. В) 70. Г) 100.

Решение. Найдем массу воды в аквариуме

m₀ = ρ⋅V = ρ⋅a⋅b⋅c, m = 1000 ⋅ 1 ⋅ 0,5 ⋅ 0,7 = 350 (кг).

Число ведер будет равно N = m₀/m₁, где m₁ = 10 кг — масса одного ведра. N = 350/10 = 35.
Ответ. Б) 35.

[alsak]

4. (7 баллов). На теплоходе установлен дизельный двигатель мощностью 80 кВт с КПД 30 %. На сколько километров пути ему хватит 1 т дизельного топлива при скорости движения 20 км/ч? Удельная теплота сгорания дизельного топлива 43 МДж/кг.

А) 322,5 км. Б) 900 км. В) 358 км. Г) 645 км.

Решение. КПД двигателя равен

\[
\eta = \frac{A_p}{A_z} \cdot 100 %, \]

где A_p = P_p⋅t — полезная работа, P_p = 80 кВт = 80⋅10³ Вт — полезная мощность, равная мощности двигателя, A_z = Q = m⋅q — затраченная работа, m = 1 т = 1000 кг — масса топлива, q = 43 МДж/кг = 43⋅10⁶ Дж/кг— удельная теплота сгорания дизельного топлива. Время движения t найдем через скорость υ и пройденное расстояние s: t = s/υ, где υ = 20 км/ч ≈ 5,6 м/с. Тогда

\[
\eta = \frac{P_p \cdot t}{m \cdot q} \cdot 100 % =
\frac{P_p \cdot s}{m \cdot q \cdot \upsilon } \cdot 100 %, \quad
s = \frac{m \cdot q \cdot \upsilon \cdot \eta }{ P_p \cdot 100 %}, \]

s = 896 км ≈ 900 км.
Ответ. Б) 900 км.

5. (9 баллов). На обледеневшем участке шоссе коэффициент трения между колесами и дорогой в 10 раз меньше, чем на не обледеневшем. Во сколько раз нужно уменьшить скорость автомобиля, чтобы тормозной путь на обледеневшем участке шоссе остался прежним?

А) 10. Б) 0,1. В) √10. Г. ≈4.

Решение. Найдем формулу зависимости тормозного (пройденного до остановки) пути s от начальной скорости автомобиля υ₀. Здесь можно решать несколькими способами. Например, 1) найти из второго закона Ньютона ускорение автомобиля, а затем из формул кинематики выразить искомую формулу; 2) воспользоваться законами сохранения энергии. Решим вторым способом.
За нулевую высоту примем высоту дороги, по которой едет автомобиль. Начальная энергия автомобиля массы m равна

\[
E_0 = \frac{m \cdot \upsilon_0^2}{2}. \]

Конечная энергия E = 0, т.к. автомобиль останавливается. На автомобиль действует сила трения, равная F = μ⋅N = μ⋅m⋅g (тело движется по горизонтальной поверхности). Работа силы трения

A = –F⋅s = ΔW = –W₀,

В итоге получаем

\[
- \mu \cdot m \cdot g \cdot s =
- \frac{m \cdot \upsilon_0^2}{2}, \quad
s = \frac{ \upsilon_0^2}{2 \mu \cdot g}, \quad (1) \]

Запишем уравнение (1) для двух случаев: 1) для не обледеневшей дороги и 2) для обледеневшей.

\[
s = \frac{ \upsilon_{01}^2}{2 \mu_1 \cdot g}, \quad
s = \frac{ \upsilon_{02}^2}{2 \mu_2 \cdot g}, \]

где μ₁ = 10μ₂. Решим систему полученных уравнений. Например,

\[
\frac{ \upsilon_{01}^2}{2 \mu_1 \cdot g} =
\frac{ \upsilon_{02}^2}{2 \mu_2 \cdot g}, \quad
\frac{ \upsilon_{01}^2}{ \upsilon_{02}^2} =
\frac{2 \mu_1 \cdot g}{2 \mu_2 \cdot g} = \frac{ \mu_1}{ \mu_2}, \quad
\frac{ \upsilon_{01}}{ \upsilon_{02}} =
\sqrt {\frac{ \mu_1}{ \mu_2}}, \quad
\frac{ \upsilon_{01}}{ \upsilon_{02}} = \sqrt {10}. \]

Ответ. В) √10.

[alsak]

6. (1,5 балла). Проводники сопротивлением 15 Ом и 30 Ом соединены параллельно. Вычислите общее сопротивление соединения.

Решение. Так как проводники соединены параллельно, то их общее сопротивление находится следующим образом:

\[
\frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} =
\frac{R_1 + R_2}{R_1 \cdot R_2}, \quad
R = \frac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2}, \quad
R = \frac{15 \cdot 30}{30 + 15} = 10. \]

Ответ: R = 10 Ом.

7. (2,5 балла). На сколько градусов остыл кипяток в питьевом баке емкостью 27 л, если он отдал в окружающую среду 1500 кДж теплоты? Плотность воды 1000 кг/м³, удельная теплоемкость воды 4200 Дж/(кг⋅°С).

Решение. При остывании тела применяем следующую формулу:

Q = c⋅m⋅Δt,

где c — удельная теплоемкость воды, Q = 1500 кДж = 1,5⋅10⁶ Дж, m = ρ⋅V — масса воды, ρ — плотность воды, V = 27 л = 27⋅10^–3 м³. Тогда

\[
\Delta t = \frac{Q}{c \cdot m} = \frac{Q}{c \cdot \rho \cdot V}, \quad
\Delta t = \frac{1,5 \cdot 10^6}{4200 \cdot 1000 \cdot 27 \cdot 10^{-3}} =
13\;(^\circ C). \]

Ответ: Δt = 13 ºС.

Примечание. На экзамене ученики часто писали формулу

Q = c⋅m⋅t,

т.е. не совсем понимают разницы между температурой t и изменением температуры Δt.

[alsak]

8. (5 баллов). Материальная точка массой 1 кг движется по окружности со скоростью 10 м/с. Найдите изменение импульса за одну четверть периода.

Решение. За период тело совершит полный оборот, следовательно, за четверть периода — четверть оборота, т.е. если тело было в точке A, то через четверть оборота окажется в точке C (рис. 1). Изменение импульса тела равно
\[
\Delta \vec p = m \cdot \vec \upsilon - m \cdot \vec \upsilon_0, \quad (1) \]
где υ = υ₀, т.к. скорость точки не меняется.
Задачу можно решить координатным методом или векторным.
Координатный метод. Направим ось 0X по направлению начальной скорости, ось 0Y — вверх. Проекции уравнения (1) на эти оси

Δp_x = m⋅υ_x – m⋅υ_0x, Δp_y = m⋅υ_y – m⋅υ_0y.

Проекции υ_x = 0, υ_0x = υ₀, υ_y = υ, υ_0y = 0 (см. рис. 1). Тогда

Δp_x = 0 – m⋅υ₀ = – m⋅υ₀, Δp_y = m⋅υ,

\[
\Delta p = \sqrt{ \Delta p_x^2 + \Delta p_y^2} =
\sqrt{(-m \cdot \upsilon_0)^2 + (m \cdot \upsilon)^2} =
\sqrt{2 \cdot (m \cdot \upsilon)^2} = m \cdot \upsilon \cdot \sqrt{2}. \]
Векторный метод. Построим треугольник импульсов для уравнения (1) (рис. 2). Из рисунка видно, что
\[
\Delta p = \sqrt{(-m \cdot \upsilon_0)^2 + (m \cdot \upsilon)^2} =
m \cdot \upsilon \cdot \sqrt{2}, \]
Δp = 14 кг⋅м/с.       
Ответ: Δp = 14 кг⋅м/с.

[alsak]

9. (7 баллов). Чтобы переправить грузовик через реку, водитель решил построить плот. В его распоряжении 20 бревен длиной l = 10 м с площадью поперечного сечения S = 300 см². Возможна ли переправа, если масса грузовика M = 4 т, а плотность бревен ρ = 600 кг/м³. Плотность воды ρ_в = 1000 кг/м³.

Решение. Один из способов решения — найти грузоподъемность плота, т.е. определить вес груза, при котором плот полностью погрузится в воду. В этом случае на плот будут действовать сила тяжести плота (m⋅g), архимедова сила (F_A) и вес груза (m₂⋅g). Плот неподвижен, поэтому из проекции на вертикальную ось уравнения второго закона Ньютона получаем:

F_A – m⋅g — m₂⋅g = 0,

где F_A = ρ_в⋅g⋅V_погр, V_погр = V = N⋅S⋅l (полное погружение плота), N = 20 — число бревен; m = ρ⋅V. Тогда

ρ_в⋅g⋅V – ρ⋅V⋅g — m₂⋅g = 0,

m₂ = (ρ_в — ρ)⋅V = (ρ_в — ρ)⋅N⋅S⋅l,

m₂ = 2400 кг. Эта масса груза, которую может выдержать плот. Так как она меньше массы грузовика (M = 4000 кг), то переправа не возможна.
Ответ: Переправа не возможна.

[alsak]

10. (9 баллов). Поперек дороги лежала гигантская змея длиной L и массой m. Чтобы освободить дорогу, змею пришлось перетащить на траву, двигая вдоль ее туловища. Какую работу при этом совершили? Коэффициент трения змеи о дорогу μ₁, о траву — μ₂.

Решение. Формулу для механической работы A = F⋅Δr⋅cos α (1) в данном случае применять нельзя, так как у нас меняется сила, которую мы должны прикладывать к змее.
На змею, которую нужно переместить по горизонтальной (по умолчанию) дороге, действуют сила тяжести (m⋅g), сила реакции опоры (N), сила трения (F_тр) и ваша сила (F) (рис. 1). Будем искать наименьшую работу, при которой ускорение змеи a = 0.
Запишем проекции уравнения второго закона Ньютона

на ось 0Х: 0 = F – F_тр или F = F_тр;

на ось 0Y: 0 = N – m⋅g или N = m⋅g.

Так как F_тр = μ⋅N, то F = μ⋅N = μ⋅m⋅g (2).
Запишем уравнение (2) для первого положения змеи, когда она полностью лежала на дороге и перемещение змеи еще равно Δr₁ = 0, и для второго — когда она полностью окажется на траве, перемещение змеи Δr₂ = L:

F₁ = μ₁⋅m⋅g и F₂ = μ₂⋅m⋅g.

Для решения нам понадобится такая величина, как линейная плотность змеи, равная ρ = m/L. Пусть змею переместили на траву на расстояние x (рис. 2). В этом момент времени

F = μ₁⋅m₁⋅g + μ₂⋅m₂⋅g,

где m₂ = ρ⋅x = m⋅x/L, m₁ = ρ⋅(L – x) = m⋅(L – x)/L. Тогда

F = μ₁⋅m⋅(L – x)/L⋅g + μ₂⋅m⋅x/L∙g = μ₁⋅m⋅g + (μ₂ – μ₁)⋅m⋅x/L⋅g (3).

1 способ (графический). Построим график зависимости силы F от перемещения змеи (рис. 3). При построении считали, что μ₁ > μ₂.
Работа равна площади заштрихованной части графика, т.е.

\[
A = \frac{F_1 + F_2}{2} \cdot L =
\frac{ \mu_1 \cdot m \cdot g + \mu_2 \cdot m \cdot g}{2} \cdot L =
\frac{ \mu_1 + \mu_2}{2} \cdot m \cdot g \cdot L. \]

2 способ. Из уравнения (3) следует, что зависимость силы F от перемещения змеи линейная, поэтому можно найти среднюю силу

F_ср = (F₁ + F₂)/2

и подставить в уравнение (1), где α = 0°, Δr = L. Ответ получится такой же.