Поле нити неоднородно, напряженность зависит от расстояния от нити до точки, в которой определяется напряженность: \[ E = \frac{\tau }{{2\varepsilon {\varepsilon _0}r}}, \]
где ε = 1 – диэлектрическая проницаемость воздуха, ε0 = 8,85∙10-12 Ф/м – электрическая постоянная.
Элементарная работа по перемещению заряда вдоль линии напряженности \[ dA = Fdr,\; \]где \[ \vec F = q\vec E \] – сила, dr – элементарное перемещение. Поле перемещает положительный заряд в сторону нити, следовательно, нить заряжена отрицательно, линии напряженности направлены к нити и вектор перемещения совпадает с вектором напряженности.
Тогда элементарная работа по перемещению заряда \[dA = q\frac{\tau }{{2\varepsilon {\varepsilon _0}r}}dr\]
и работа на расстоянии от r1 до r2 \[\begin{gathered}
A = \int\limits_{{r_1}}^{{r_2}} {\frac{{q \cdot \tau }}{{2\varepsilon {\varepsilon _0}r}}dr} = \frac{{q \cdot \tau }}{{2\varepsilon {\varepsilon _0}}}\int\limits_{{r_1}}^{{r_2}} {\frac{{dr}}{r}} = \left. {\frac{{q \cdot \tau }}{{2\varepsilon {\varepsilon _0}}}\ln r} \right|_{{r_1}}^{{r_2}} = \frac{{q \cdot \tau }}{{2\varepsilon {\varepsilon _0}}}\ln \frac{{{r_2}}}{{{r_1}}} \Rightarrow \hfill \\
\hfill \\
\tau = \frac{{2A\varepsilon {\varepsilon _0}}}{{q \cdot \ln \frac{{{r_2}}}{{{r_1}}}}}. \hfill \\
\hfill \\
\tau = \frac{{2 \cdot 0,5 \cdot {{10}^{ - 3}} \cdot 1 \cdot 8,85 \cdot {{10}^{ - 12}}}}{{{{10}^{ - 9}} \cdot \ln \frac{5}{{10}}}} = - 1,3 \cdot {10^{ - 5}}. \hfill \\
\end{gathered} \]
Ответ: -13 мкКл/м.
