Решение.
Тороид – это катушка, которая имеет замкнутый сердечник в форме кольца или тора. Пусть на сердечник намотано
N витков провода, по которому течет ток
I. Каждый виток создаёт магнитное поле, и результирующее магнитное поле сконцентрировано внутри сердечника. Вектор магнитной индукции B направлен по касательной к осевой линии тора и по величине является постоянным во всех точках осевой линии:
B = const. Вычислим циркуляцию вектора B по осевой линии тора:
\[ \oint\limits_{L}{Bdl={{\mu }_{0}}\cdot \mu }\sum\limits_{k=1}^{N}{{{I}_{k}}},\ B\cdot 2\cdot \pi \cdot r={{\mu }_{0}}\cdot \mu \cdot N\cdot I,B=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot \mu \cdot N\cdot I}{2\cdot \pi \cdot r}\ \ \ (1). \]
μ
0 = 4∙π∙10
-7 Н/А
2 – магнитная постоянная , μ = 1.
r – радиус тороида по средней линии
\[ r=\frac{{{R}_{1}}+{{R}_{2}}}{2}(2).
\]
Подставим (2) в (1) выразим индукцию магнитного поля
\[ B=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot \mu \cdot N\cdot I\cdot 2}{2\cdot \pi \cdot ({{R}_{1}}+{{R}_{2}})},B=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot \mu \cdot N\cdot I}{\pi \cdot ({{R}_{1}}+{{R}_{2}})}(3). \]
Объёмную плотность энергии магнитного поля на центральной оси воздушного тороида определим по формуле
\[ \begin{align}
& w=\frac{{{B}^{2}}}{2\cdot {{\mu }_{0}}\cdot \mu }(4),w=\frac{1}{2\cdot {{\mu }_{0}}\cdot \mu }\cdot {{(\frac{{{\mu }_{0}}\cdot \mu \cdot N\cdot I}{\pi \cdot ({{R}_{1}}+{{R}_{2}})})}^{2}},w=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot \mu }{2}\cdot {{(\frac{N\cdot I}{\pi \cdot ({{R}_{1}}+{{R}_{2}})})}^{2}}. \\
& w=\frac{4\cdot 3,14\cdot {{10}^{-7}}\cdot 1}{2}\cdot {{(\frac{{{10}^{3}}\cdot 4}{3,14\cdot (0,4+0,2)})}^{2}}=2,83. \\
\end{align}
\]
w = 2,83 Дж/м
3.
