Во сколько раз изменится магнитная индукция в центре фигуры?

[Антон Огурцевич]

1. Во сколько раз изменится магнитная индукция в центре фигуры, образованной проводником с током, если не изменяя его длины и силы тока, форму фигуры - окружность изменили на равносторонний треугольник? Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение.
Для решения задачи необходимы: μ₀ = 4∙π⋅10^-7 Гн/м − магнитная постоянная. 
Определим магнитную индукцию в центре равностороннего треугольника. Рассмотрим три участка, АВ, ВС, СА.
Направление вектора магнитной индукции на каждом участке определим по правилу буравчика. В точке О результирующий вектор магнитной индукции направлен к нам. Применим принцип суперпозиции.

\[ \begin{align}
  & \vec{B}={{{\vec{B}}}_{AB}}+{{{\vec{B}}}_{BC}}+{{{\vec{B}}}_{CA}},\  \\
 & Ox:\ B={{B}_{AB}}+{{B}_{BC}}+{{B}_{CA}}\ \ \ (1). \\
\end{align}
 \]

Определим модуль вектора магнитной индукции на участке АВ.
Индукция магнитного поля в произвольной точке О, созданного отрезком проводника с током конечной длины, определим используя закон Био -  Савара -  Лапласа.

\[ \begin{align}
  & dB=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{4\cdot \pi \cdot R}\cdot \sin \alpha d\alpha ,\ B=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{4\cdot \pi \cdot R}\cdot \int\limits_{{{\alpha }_{1}}}^{{{\alpha }_{2}}}{\sin \alpha d\alpha \,\,(2),} \\
 & B=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{4\cdot \pi \cdot R}\cdot (\cos {{\alpha }_{1}}-\cos {{\alpha }_{2}})\ \ \ (3). \\
\end{align} \]

Где: R - расстояние от т. О до проводника; – α₁ и α₂ углы, образованные радиус-вектором, проведенном в т. О соответственно из начала и конца проводника, с направлением тока.
Расстояние от т. О до проводника определим как радиус уписанной окружности в равносторонний треугольник

\[ R=r=\frac{a}{2\cdot \sqrt{3}}(4).
 \]

Определим модуль вектора магнитной индукции на каждом участке.
α₂ = 5∙π/6, α₁ =  π/6.

\[ \begin{align}
  & B=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{4\cdot \pi \cdot R}\cdot (\cos \frac{\pi }{6}-\cos \frac{5\cdot \pi }{6})\ ,\ B=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{4\cdot \pi \cdot R}\cdot (\frac{\sqrt{3}}{2}-(-\frac{\sqrt{3}}{2}))=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{4\cdot \pi \cdot R}\cdot \sqrt{3}\ (5), \\
 & {{B}_{BC}}={{B}_{BA}}={{B}_{CA}}=\frac{\sqrt{3}\cdot {{\mu }_{0}}\cdot I}{4\cdot \pi \cdot R}\ \ \ (6),R=\frac{a}{2\cdot \sqrt{3}},{{B}_{2}}=3\cdot {{B}_{BA}}(7), \\
 & {{B}_{2}}=3\cdot \frac{\sqrt{3}\cdot {{\mu }_{0}}\cdot I\cdot 2\cdot \sqrt{3}}{4\cdot \pi \cdot a},\ {{B}_{2}}=\frac{9\cdot {{\mu }_{0}}\cdot I}{2\cdot \pi \cdot a}\ \ \ (8). \\
\end{align}

 \]

Магнитную индукцию поля в центре кругового тока (витка) определим по формуле:

\[ {{B}_{1}}=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{2\cdot {{R}_{1}}}(9). \]

R₁ – радиус окружности. По условию задачи окружность изменили на равносторонний треугольник. Периметр треугольника равен длине окружности. Выразим радиус окружности через сторону треугольника и подставим в (9)

\[ \begin{align}
  & C=2\cdot \pi \cdot {{R}_{1}}\,,P=3\cdot a,\,2\cdot \pi \cdot {{R}_{1}}=3\cdot a,{{R}_{1}}=\frac{3\cdot a}{2\cdot \pi }(10). \\
 & {{B}_{1}}=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I\cdot 2\cdot \pi }{2\cdot 3\cdot a},{{B}_{1}}=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I\cdot \pi }{3\cdot a}(11). \\
\end{align}
 \]

Определим во сколько раз изменится магнитная индукция в центре фигуры, образованной проводником с током, если не изменяя его длины и силы тока, форму фигуры - окружность изменили на равносторонний треугольник

\[ \frac{{{B}_{2}}}{{{B}_{1}}}=\frac{9\cdot {{\mu }_{0}}\cdot I}{2\cdot \pi \cdot a}\cdot \frac{3\cdot a}{{{\mu }_{0}}\cdot I\cdot \pi }=\frac{27}{2\cdot {{\pi }^{2}}}=1,36. \]

Магнитная индукция увеличится в 1,36 раза.