Определить токи в схеме, представленной на рисунке

[Антон Огурцевич]

4. Определить токи в схеме, представленной на рисунке, если ε₁ = 10 В, ε₂ = 5 В, R₁ = 5 Ом, R₂ = 8 Ом, R₃ = 2 Ом. Внутренними сопротивлениями пренебречь. Сделать рисунок. Необходимо использовать законы Кирхгофа, на рисунке обозначить направления сил токов, ЭДС и направление обхода.

[Сергей]

Решение.
Покажем схему соединения (рис).
Для цепи применим правила Кирхгофа:
Первое правило – сумма токов, подходящих к узлу, равна сумме токов, выходящих из узла.
Второе правило – в любом замкнутом контуре сложной цепи сумма действующих ЭДС равна сумме падений напряжения на сопротивлениях этого контура, причем электродвижущие силы берем со знаком плюс, если они повышают потенциал по направлению обхода (переходим от минуса к плюсу), и со знаком минус если понижают. Падение напряжения считаем положительным, если направление токов, проходящих через сопротивление, совпадает с направлением обхода, и со знаком минус, если понижают.
Покажем направления токов стрелками. Для силы токов справедливо условие:

I₃ = I₁ + I₂   (1).

Выбираем положительное направление обхода каждого контура. На основании второго правила Кирхгофа для замкнутого контура запишем формулы на зажимах источников токов:

\[ {{\xi }_{1}}={{I}_{1}}\cdot {{R}_{1}}+{{R}_{3}}\cdot {{I}_{3}}\ \ \ (2),\ {{\xi }_{2}}={{R}_{2}}\cdot {{I}_{2}}+{{I}_{3}}\cdot {{R}_{3}}\ \ \ (3). \]

Выразим токи I₁ и I₂ из уравнений (2) и (3) и подставим в (1):

\[ {{I}_{1}}=\frac{{{\xi }_{1}}-{{R}_{3}}\cdot {{I}_{3}}}{{{R}_{1}}}(4),\ {{I}_{2}}=\frac{{{\xi }_{2}}-{{R}_{3}}\cdot {{I}_{3}}}{{{R}_{2}}}(5),\ {{I}_{3}}=\frac{{{\xi }_{1}}-{{R}_{3}}\cdot {{I}_{3}}}{{{R}_{1}}}+\frac{{{\xi }_{2}}-{{R}_{3}}\cdot {{I}_{3}}}{{{R}_{2}}}. \]

Решим уравнение (4) и найдем ток I₃ в резисторе R₃:

\[ \begin{align}
  & {{I}_{3}}=\frac{{{\xi }_{1}}}{{{R}_{1}}}-\frac{{{R}_{3}}\cdot {{I}_{3}}}{{{R}_{1}}}+\frac{{{\xi }_{2}}}{{{R}_{2}}}-\frac{{{R}_{3}}\cdot {{I}_{3}}}{{{R}_{2}}},\ {{I}_{3}}\cdot (1+\frac{{{R}_{3}}}{{{R}_{1}}}+\frac{{{R}_{3}}}{{{R}_{2}}})=\frac{{{\xi }_{1}}}{{{R}_{1}}}+\frac{{{\xi }_{2}}}{{{R}_{2}}}, \\
 & {{I}_{3}}\cdot (\frac{{{R}_{1}}\cdot {{R}_{2}}+{{R}_{2}}\cdot {{R}_{3}}+{{R}_{1}}\cdot {{R}_{3}}}{{{R}_{1}}\cdot {{R}_{2}}})=\frac{{{\xi }_{1}}\cdot {{R}_{2}}+{{\xi }_{2}}\cdot {{R}_{1}}}{{{R}_{1}}\cdot {{R}_{2}}}, \\
 & {{I}_{3}}=\frac{{{\xi }_{1}}\cdot {{R}_{2}}+{{\xi }_{2}}\cdot {{R}_{1}}}{{{R}_{2}}\cdot {{R}_{3}}+{{R}_{1}}\cdot {{R}_{2}}+{{R}_{1}}\cdot {{R}_{3}}},\ {{I}_{3}}=\frac{10\cdot 8+5\cdot 5}{8\cdot 2+5\cdot 8+2\cdot 5}=1,59. \\
\end{align} \]

Подставим I₃ в (4) определим силу тока I₁, I₁ и I₃ подставим в (1) определим I₂

\[ \begin{align}
  & {{I}_{1}}=\frac{10-2\cdot 1,59}{5}=1,364, \\
 & {{I}_{2}}={{I}_{3}}-{{I}_{1}},{{I}_{2}}=1,59-1,364=0,226. \\
\end{align} \]

Ответ: I₃ = 1,59 А, I₁ = 1,364 А, I₂ = 0,226 А.