Частица из состояния покоя начала двигаться по дуге окружности радиуса

[Антон Огурцевич]

3.5. Частица из состояния покоя начала двигаться по дуге окружности радиуса R = 1 м с угловой скоростью, модуль которой зависит от времени по закону ω = A∙(t/τ)³. Через сколько секунд угол между полным ускорением частицы и её скоростью будет равен 45°, если τ = 1 с. А = 5 с^–1. Сделать рисунок.
а) 0,55 с; б) 0,66 с; в) 0,77 с; г) 0,88 с; д) 0,99 с;

[Сергей]

Решение. Покажем рисунок. Скорость частицы совпадает с тангенциальным ускорением.
Определим нормальное и тангенциальное ускорение частицы

\[ \begin{align}
  & \omega =A\cdot {{(\frac{t}{\tau })}^{3}},\omega =5\cdot {{(\frac{t}{1})}^{3}},\omega =5\cdot {{t}^{3}}(1). \\
 & {{a}_{n}}=\frac{{{\upsilon }^{2}}}{R},\upsilon =\omega \cdot R,{{a}_{n}}=\frac{{{(\omega \cdot R)}^{2}}}{R},{{a}_{n}}={{\omega }^{2}}\cdot R,{{a}_{n}}={{(5\cdot {{t}^{3}})}^{2}}\cdot R=25\cdot {{t}^{6}}\cdot R(2). \\
 & {{a}_{\tau }}=\frac{d\upsilon }{dt}=\frac{d(\omega \cdot R)}{dt}=R\cdot \frac{d\omega }{dt},{{a}_{\tau }}=R\cdot (5\cdot {{t}^{3}})'=15\cdot R\cdot {{t}^{2}}(3). \\
 & \frac{{{a}_{n}}}{{{a}_{\tau }}}=tg{{45}^{0}},{{a}_{n}}={{a}_{\tau }},25\cdot {{t}^{6}}\cdot R=15\cdot R\cdot {{t}^{2}},\frac{{{t}^{6}}}{{{t}^{2}}}={{t}^{4}}=\frac{15\cdot R}{25\cdot R},t=\sqrt[4]{\frac{15}{25}}=0,88. \\
\end{align} \]

Ответ: г) 0,88 с.