Частица начала своё движение из начала координат

[Антон Огурцевич]

3.3. Частица начала своё движение из начала координат, и её скорость зависит от времени по закону v⁻(t) = i⁻∙A(t/τ)³ + j⁻∙B(t/τ)⁵, где A, B – постоянные величины, i⁻, j⁻ – единичные орты в декартовой системе координат. На какое расстояние от начала координат удалится частица в момент времени t = 1 с, если τ = 1 с. А = 3 м/c, В = 4 м/c. Сделать рисунок.
а) 9,00 м; б) 7,00 м; в) 5,00 м; г) 3,00 м; д) 1,00 м;

[Сергей]

Решение.

\[ \begin{align}
  & \vec{\upsilon }(t)=A\cdot {{(\frac{t}{\tau })}^{3}}\cdot \vec{i}+B\cdot {{(\frac{t}{\tau })}^{5}}\cdot \vec{j},\vec{\upsilon }(t)=3\cdot {{(\frac{t}{1})}^{3}}\cdot \vec{i}+4\cdot {{(\frac{t}{1})}^{5}}\cdot \vec{j}, \\
 & \vec{\upsilon }(t)=3\cdot {{t}^{3}}\cdot \vec{i}+4\cdot {{t}^{5}}\cdot \vec{j}(1). \\
 & x={{x}_{0}}+\int\limits_{0}^{t}{3\cdot {{t}^{3}}dt}={{x}_{0}}+\left. 3\cdot \frac{1}{4}\cdot {{t}^{4}} \right|_{0}^{t}={{x}_{0}}+\frac{3\cdot {{t}^{4}}}{4},{{x}_{0}}=0,x=\frac{3\cdot {{t}^{4}}}{4}(2). \\
 & y={{y}_{0}}+\int\limits_{0}^{t}{4\cdot {{t}^{5}}dt}={{y}_{0}}+\left. 4\cdot \frac{1}{6}\cdot {{t}^{6}} \right|_{0}^{t}={{y}_{0}}+\frac{4\cdot {{t}^{6}}}{6},{{y}_{0}}=0,y=\frac{4\cdot {{t}^{6}}}{6}=\frac{2\cdot {{t}^{6}}}{3}(3). \\
 & s=\sqrt{{{(\frac{3\cdot {{t}^{4}}}{4})}^{2}}+{{(\frac{2\cdot {{t}^{6}}}{3})}^{2}}}(4). \\
 & s=\sqrt{{{(\frac{3\cdot {{1}^{4}}}{4})}^{2}}+{{(\frac{2\cdot {{1}^{6}}}{3})}^{2}}}=1. \\
\end{align}
 \]

Ответ: д) 1,00 м.