По окружности шкива радиусом

[Антон Огурцевич]

111. По окружности шкива радиусом 5 см, скреплённого с валом колеса, намотана нить, к концу которой привязана гиря массой 2 кг. Гиря из состояния покоя опустилась на высоту 1,5 м в течение 6 с. Пренебрегая трением, определить момент инерции системы и силу натяжения нити. Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение.
1). Используя второй закон Ньютона определим силу натяжения нити

\[ \begin{align}
  & \vec{F}=m\cdot \vec{a},\ {{{\vec{F}}}_{H}}+m\cdot \vec{g}=m\cdot \vec{a},\ s={{\upsilon }_{0}}\cdot t+\frac{a\cdot {{t}^{2}}}{2},{{\upsilon }_{0}}=0,s=\frac{a\cdot {{t}^{2}}}{2}a=\frac{2\cdot s}{{{t}^{2}}}(1), \\
 & Oy:\ -{{F}_{H}}+m\cdot g=m\cdot a,\ {{F}_{H}}=m\cdot g-m\cdot a(2),{{F}_{H}}=m\cdot g-m\cdot \frac{2\cdot s}{{{t}^{2}}}\ \ (3). \\
 & {{F}_{H}}=2\cdot (10-\frac{2\cdot 1,5}{{{6}^{2}}})=19,8. \\
\end{align} \]

2). Определим момент инерции. Момент сил которые действуют на сплошной цилиндрический вал определим по формуле:

М = J∙ε   (4), М = F_Н∙R   (5).

J – момент инерции диска, ε – угловое ускорение движения диска, F_Н – сила натяжения нити, R – радиус вала. Сравним (4) и (5). Груз из состояния покоя движется равноускоренно, зная ускорения груза запишем формулу для определения углового ускорения, определим момент инерции системы.

\[ \begin{align}
  & J\cdot \varepsilon ={{F}_{H}}\cdot R(6),\varepsilon =\frac{a}{R}\ \ \ (7),a=\frac{2\cdot s}{{{t}^{2}}}(1), \\
 & J\cdot \frac{a}{R}={{F}_{H}}\cdot R,J\cdot \frac{2\cdot s}{R\cdot {{t}^{2}}}={{F}_{H}}\cdot R,J\cdot \frac{2\cdot s}{{{t}^{2}}}={{F}_{H}}\cdot {{R}^{2}},J=\frac{{{F}_{H}}\cdot {{R}^{2}}\cdot {{t}^{2}}}{2\cdot s}(8). \\
 & J=\frac{19,8\cdot {{(5\cdot {{10}^{-2}})}^{2}}\cdot {{6}^{2}}}{2\cdot 1,5}=0,594. \\
\end{align} \]

Ответ: 19,8 Н, 0,594 кг∙м².