Медный провод массой

[Антон Огурцевич]

Медный провод массой 178 г намотан на круглую рамку диаметром 0,141 м, которая вращается во внешнем однородном магнитном поле, индукция которого 1 Тл, с частотой 5 Гц. Определить действующее значение ЭДС в рамке и мощность, выделяющуюся во внешней цепи на сопротивлении 9,86 Ом. Плотность меди 8,9∙10³ кг/м³. Площадь сечения провода 1 мм². Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение. Контур находится в однородном магнитном поле, то магнитный поток который пронизывает контур определим по формуле:

Ф = В∙S∙соsα    (1).

Где: B – индукция магнитного поля, S – площадь контура, α – угол между силовыми линиями и нормалью к контуру. Будем считать, что ось вращения перпендикулярна силовым линиям, то этот угол при вращении равен

α = ω∙t, ω = 2∙π∙ν, α =  2∙π∙ν∙t   (2).

Где: ω – угловая скорость, ν – частота вращения рамки.
Запишем формулу для определения количества витков контура

\[ N=\frac{l}{{{l}_{1}}},{{l}_{1}}=\pi \cdot D,m=\rho \cdot V,V={{S}_{1}}\cdot l,m=\rho \cdot {{S}_{1}}\cdot l,l=\frac{m}{\rho \cdot {{S}_{1}}},N=\frac{m}{\rho \cdot {{S}_{1}}\cdot \pi \cdot D}(3). \]

Где: l – длина провода, l₁ – длина одного витка, V – объем провода.
Магнитный поток меняется, воспользуемся законом электромагнитной индукции (закон Фарадея) для расчёта ЭДС индукции возникающей в контуре, определим действующее значение ЭДС в контуре

\[ \begin{align}
  & e=-N\cdot \frac{d\Phi }{dt}=-N\cdot \frac{d\left( B\cdot S\cdot \cos (\omega \cdot t) \right)}{dt}=N\cdot B\cdot S\cdot \omega \cdot \sin (\omega \cdot t)(4),S=\frac{\pi \cdot {{D}^{2}}}{4}(5), \\
 & e=N\cdot B\cdot \frac{\pi \cdot {{D}^{2}}}{4}\cdot \omega \cdot \sin \omega \cdot t,e=N\cdot B\cdot \frac{\pi \cdot {{D}^{2}}}{4}\cdot 2\cdot \pi \cdot \nu \cdot \sin (2\cdot \pi \cdot \nu \cdot t),(6) \\
 & {{E}_{\max }}=N\cdot B\cdot \frac{\pi \cdot {{D}^{2}}}{4}\cdot 2\cdot \pi \cdot \nu ,{{E}_{\max }}=\frac{m}{\rho \cdot {{S}_{1}}\cdot \pi \cdot D}\cdot B\cdot \frac{\pi \cdot {{D}^{2}}}{4}\cdot 2\cdot \pi \cdot \nu (6). \\
 & E=\frac{{{E}_{\max }}}{\sqrt{2}},E=\frac{m}{\rho \cdot {{S}_{1}}\cdot \pi \cdot D}\cdot B\cdot \frac{\pi \cdot {{D}^{2}}}{4\cdot \sqrt{2}}\cdot 2\cdot \pi \cdot \nu ,E=\frac{m\cdot \sqrt{2}\cdot B\cdot \pi \cdot \nu \cdot D}{4\cdot \rho \cdot {{S}_{1}}}(7). \\
 & E=\frac{0,178\cdot \sqrt{2}\cdot 1\cdot 3,14\cdot 5\cdot 0,141}{4\cdot 8,9\cdot {{10}^{3}}\cdot {{10}^{-6}}}=15,6. \\
\end{align}
 \]

Определим сопротивление медного провода и силу тока в цепи

\[ \begin{align}
  & {{R}_{0}}={{\rho }_{1}}\cdot \frac{l}{{{S}_{1}}},l=\frac{m}{\rho \cdot {{S}_{1}}},{{R}_{0}}={{\rho }_{1}}\cdot \frac{m}{\rho \cdot S_{1}^{2}}(8),I=\frac{E}{R+{{R}_{0}}}(9). \\
 & {{R}_{0}}=1,7\cdot {{10}^{-8}}\cdot \frac{0,178}{8,9\cdot {{10}^{3}}\cdot {{({{10}^{-6}})}^{2}}}=0,34.I=\frac{15,6}{9,86+0,34}=1,53. \\
\end{align} \]

R₀ – сопротивление медного провода, ρ₁ – удельное сопротивление меди, ρ₁ = 1,7∙10^-8 Ом∙м.
Определить мощность, выделяющуюся во внешней цепи на сопротивлении 9,86 Ом

\[ P={{I}^{2}}\cdot R(10).P={{1,53}^{2}}\cdot 9,86=23. \]

Ответ: 15,6 В, 23 Вт.