Небольшой груз массы

[Антон Огурцевич]

Небольшой груз массы m = 32 г подвешен на пружине и колеблется вертикально в некоторой вязкой жидкости с периодом Т = 0,7 с. При этом логарифм отношения амплитуды колебаний в некоторый момент времени к амплитуде через период равен λ = 3. Принимая π² = 10, определить коэффициент жёсткости пружины k. Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение.
Дифференциальное уравнение затухающих колебаний имеет вид

\[ \frac{{{d}^{2}}x}{d{{t}^{2}}}+2\cdot \beta \frac{dx}{dt}+\omega _{0}^{2}\cdot x=0. \]

Запишем уравнение колебаний в точке, колеблющийся в некоторой вязкой жидкости

\[ x=A\cdot {{e}^{-\beta \cdot t}}\cdot \cos (\omega \cdot t+{{\varphi }_{0}}). \]

Частота затухающих колебаний определяется по формуле

\[ {{\omega }^{2}}=\omega _{0}^{2}-{{\beta }^{2}}(1),\omega =\frac{2\cdot \pi }{T}(2),{{(\frac{2\cdot \pi }{T})}^{2}}=\omega _{0}^{2}-{{\beta }^{2}}(3). \]

Где: ω₀ – собственная частота колебаний маятника, β – коэффициент затухания. Запишем формулу для определения собственная частота колебаний маятника

\[ {{\omega }_{0}}=\sqrt{\frac{k}{m}}(4). \]

Определим коэффициент затухания

\[ \frac{A(t)}{A(t+T)}={{e}^{\beta \cdot T}},\lambda =\ln \frac{A(t)}{A(t+T)}=\beta \cdot T,\beta =\frac{\lambda }{T}(5). \]

(5) и (4) подставим в (3) определим коэффициент жёсткости пружины

\[ \begin{align}
  & {{(\frac{2\cdot \pi }{T})}^{2}}=\frac{k}{m}-{{(\frac{\lambda }{T})}^{2}},\frac{k}{m}={{(\frac{2\cdot \pi }{T})}^{2}}+{{(\frac{\lambda }{T})}^{2}},k=m\cdot \frac{4\cdot {{\pi }^{2}}+{{\lambda }^{2}}}{{{T}^{2}}}(6). \\
 & k=0,032\cdot \frac{4\cdot 10+{{3}^{2}}}{{{0,7}^{2}}}=3,2. \\
\end{align} \]

Ответ: 3,2 Н/м.