Тело брошено под углом

[Антон Огурцевич]

Тело брошено под углом α = 45 градусов к горизонту со скоростью v₀ = 25 м/с. Каковы будут нормальное а_n, тангенциальное а_τ и полное а ускорения тела через время t = 0,6 c после начала движения? Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение. Тело участвует в двух движениях:
Равномерном – относительно оси Ох и равнопеременном - относительно оси Оу с ускорением g = 10 м/с².
Зная время движения, определим приблизительное положение тела в пространстве. Движение тела брошенного под углом к горизонту описывается формулами:

\[ \begin{align}
  & x={{\upsilon }_{0x}}\cdot t,{{\upsilon }_{0x}}={{\upsilon }_{0}}\cdot \cos \alpha ,x={{\upsilon }_{0}}\cdot \cos \alpha \cdot t(1), \\
 & y={{\upsilon }_{0y}}\cdot t-\frac{g\cdot {{t}^{2}}}{2},{{\upsilon }_{0y}}={{\upsilon }_{0}}\cdot sin\alpha ,y={{\upsilon }_{0}}\cdot sin\alpha \cdot t-\frac{g\cdot {{t}^{2}}}{2}(2). \\
\end{align} \]

В конце полета высота (координата по оси Оу) равна нулю, определим время полета:

\[ \begin{align}
  & 0={{\upsilon }_{0}}\cdot sin\alpha \cdot t-\frac{g\cdot {{t}^{2}}}{2},\frac{g\cdot t}{2}={{\upsilon }_{0}}\cdot sin\alpha ,t=0, \\
 & t=\frac{2\cdot {{\upsilon }_{0}}\cdot sin\alpha }{g}(3).t=\frac{2\cdot 25\cdot \sqrt{2}}{10\cdot 2}=3,525. \\
\end{align} \]

Тело на весь путь затратит 3,525 с, на половину пути 1,7625 с. Через 0,6 с тело будет находиться на первой половине пути. Покажем рисунок и определим скорость в указанной точке   

\[ \begin{align}
  & {{\upsilon }_{x}}={{\upsilon }_{0}}\cdot \cos \alpha (5),{{\upsilon }_{y}}={{\upsilon }_{0}}\cdot sin\alpha -g\cdot t(6), \\
 & \upsilon =\sqrt{{{({{\upsilon }_{0}}\cdot \cos \alpha )}^{2}}+{{({{\upsilon }_{0}}\cdot sin\alpha -g\cdot t)}^{2}}}(7). \\
\end{align} \]

   Запишем формулы для определения ускорений

\[  \begin{align}
  & {{a}_{n}}=\frac{{{\upsilon }^{2}}}{R}\ \ \ (2),\ {{a}_{n}}=g\cdot \cos \varphi \ \ \ (3),\ \cos \varphi =\frac{{{\upsilon }_{x}}}{\upsilon },\ {{a}_{n}}=g\cdot \frac{{{\upsilon }_{0}}\cdot \cos \alpha }{\sqrt{{{({{\upsilon }_{0}}\cdot \cos \alpha )}^{2}}+{{({{\upsilon }_{0}}\cdot sin\alpha -g\cdot t)}^{2}}}}\ \ \ (8\,). \\
 & {{g}^{2}}=a_{n}^{2}+a_{\tau }^{2},\ a_{\tau }^{2}={{g}^{2}}-a_{n}^{2},\ {{a}_{\tau }}=\sqrt{{{g}^{2}}-{{(g\cdot \frac{{{\upsilon }_{0}}\cdot \cos \alpha }{\sqrt{{{({{\upsilon }_{0}}\cdot \cos \alpha )}^{2}}+{{({{\upsilon }_{0}}\cdot sin\alpha -g\cdot t)}^{2}}}})}^{2}}\ },\  \\
 & {{a}_{\tau }}=g\cdot \sqrt{1-{{(\frac{{{\upsilon }_{0}}\cdot \cos \alpha }{\sqrt{{{({{\upsilon }_{0}}\cdot \cos \alpha )}^{2}}+{{({{\upsilon }_{0}}\cdot sin\alpha -g\cdot t)}^{2}}}})}^{2}}\ }\ \ (9). \\
\end{align} \]

\[ \begin{align}
  & {{a}_{n}}=10\cdot \frac{25\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{{{(25\cdot \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}+{{(25\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}-10\cdot 0,6)}^{2}}}}=8,35. \\
 & {{a}_{\tau }}=10\cdot \sqrt{1-{{(0,835)}^{2}}}=5,5. \\
\end{align}
 \]

  Полное ускорение равно ускорению свободного падения а = g = 10 м/с².
Ответ: а_n = 8,35 м/с², а_τ = 5,5 м/с², а = g = 10 м/с².