Определить направление и величину магнитной индукции в центре полукруга

[Антон Огурцевич]

2. Задача:
По тонкому длинному проводу течёт ток силой I = 10 А. Определить направление и величину магнитной индукции В в центре полукруга (R = π см, l = 10 см). Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение.
Для решения задачи необходимы: μ₀ = 4∙π⋅10^-7 Гн/м − магнитная постоянная. 
Рассмотрим пять участков, АВ, ВС, СD, DЕ, ЕF.
Для определения направления вектора магнитной индукции для каждого участка в точке О применим правило правой руки: если мысленно обхватить проводник правой рукой, так чтобы большой палец показывал направление тока, то согнутые остальные пальцы покажут направление линий магнитной индукции в точке О. Вектор магнитной индукции направлен по касательной к линиям магнитной индукции в точке О. Покажем рисунок. Магнитная индукция от участков ВС и DЕ равна нулю, так как точка О лежит на оси этих проводов. Применим принцип суперпозиции.

\[ \begin{align}
  & \vec{B}={{{\vec{B}}}_{AB}}+{{{\vec{B}}}_{BC}}+{{{\vec{B}}}_{CD}}+{{{\vec{B}}}_{DE}}+{{{\vec{B}}}_{EF}},\ {{B}_{BC}}={{B}_{DE}}=0,{{B}_{AB}}={{B}_{EF}}, \\
 & Ox:\ B={{B}_{AB}}+{{B}_{EF}}-{{B}_{CD}},\ B=2\cdot {{B}_{AB}}-{{B}_{CD}}\ \ (1). \\
\end{align} \]

Определим модуль вектора магнитной индукции на участке АВ. Учитываем, что одним концом этот провод уходит в бесконечность.
Индукция магнитного поля в произвольной точке О, созданного отрезком проводника с током конечной длины, определим используя закон Био -  Савара -  Лапласа.

\[ \begin{align}
  & dB=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{4\cdot \pi \cdot r}\cdot \sin \varphi d\varphi ,\ B=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{4\cdot \pi \cdot r}\cdot \int\limits_{{{\alpha }_{1}}}^{{{\alpha }_{2}}}{\sin \varphi d\varphi ,} \\
 & B=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{4\cdot \pi \cdot r}\cdot (\cos {{\varphi }_{1}}-\cos {{\varphi }_{2}})\ \ \ (2). \\
\end{align} \]

Где: r - расстояние от т. О до проводника

r = R + l   (3).

Углы φ₁ и φ₂, образованные радиус-вектором, проведенном в т. О соответственно из начала и конца проводника, с направлением тока.
Определим модуль вектора магнитной индукции на участке АВ,
φ₂ = π, φ₁ =  π/ 2,

\[ \begin{align}
  & {{B}_{AB}}=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{4\cdot \pi \cdot (R+l)}\cdot (\cos \frac{\pi }{2}-\cos \pi )\ ,\ {{B}_{AB}}=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{4\cdot \pi \cdot (R+l)}\cdot (0-(-1))\ , \\
 & {{B}_{AB}}={{B}_{EF}}=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{4\cdot \pi \cdot (R+l)}\,(4). \\
 & {{B}_{AB}}=\frac{4\cdot \pi \cdot {{10}^{-7}}\cdot 10}{4\cdot \pi \cdot (0,0314+0,1)}=76,1\cdot {{10}^{-7}}. \\
\end{align}
 \]

Магнитная индукция в центре полукругового витка с током определяется по формуле:

\[ {{B}_{CD}}=\frac{1}{2}\cdot \frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{2\cdot R}\ \ \ (5),{{B}_{CD}}=\frac{4\cdot 3,14\cdot {{10}^{-7}}\cdot 10}{0,0314\cdot 4}=10\cdot {{10}^{-7}}. \]

Определить направление и величину магнитной индукции В в центре полукруга
В = 2∙76,1∙10^-7 - 10∙10^-7 = 142,2∙10^-7 Тл.
Ответ: В = 142,2∙10^-7 Тл.