Платформа в виде диска массой

[Антон Огурцевич]

6. Платформа в виде диска массой 280 кг может вращаться вокруг вертикальной оси без трения. На какой угол повернётся платформа, если человек пройдёт вдоль края платформы и вернётся в исходную точку? Масса человека 80 кг. Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение.
Применим закон сохранения момента импульса. Закон сохранения момента импульса вытекает из основного уравнения динамики вращательного движения тела, закрепленного в неподвижной точке, и состоит в следующем:
Если результирующий момент внешних сил относительно неподвижной точки тождественно равен нулю, то момент импульса тела относительно этой точки с течением времени не изменяется.
Момент импульса определяется по формуле:

L = J∙ω   (1).
J₁∙ω₁  =  J₂∙ω₂   (2).

J₁ - момент инерции человека на краю диска, ω₁ - угловая скорость перемещения человека по краю диска.
J₂ - момент инерции диска и человека на краю диска, ω₂ - угловая скорость свободно вращающегося диска если человек идет по краю диска.

\[ \begin{align}
  & {{J}_{1}}=m\cdot {{R}^{2}}\,(3),{{\omega }_{1}}=\frac{\upsilon }{R}(4),{{L}_{1}}=m\cdot {{R}^{2}}\cdot \frac{\upsilon }{R},{{L}_{1}}=m\cdot R\cdot \upsilon ,\upsilon =\frac{2\cdot \pi \cdot R}{t},{{L}_{1}}=m\cdot R\cdot \frac{2\cdot \pi \cdot R}{t}(5), \\
 & {{J}_{2}}={{J}_{0}}+m\cdot {{R}^{2}},{{J}_{0}}=\frac{M\cdot {{R}^{2}}}{2},{{J}_{2}}=\frac{M\cdot {{R}^{2}}}{2}+m\cdot {{R}^{2}},{{L}_{2}}=(\frac{M\cdot {{R}^{2}}}{2}+m\cdot {{R}^{2}})\cdot {{\omega }_{2}}, \\
 & {{\omega }_{2}}=\frac{\varphi }{t},{{L}_{2}}=(\frac{M\cdot {{R}^{2}}}{2}+m\cdot {{R}^{2}})\cdot \frac{\varphi }{t}\,\,(6). \\
 & m\cdot R\cdot \frac{2\cdot \pi \cdot R}{t}=(\frac{M\cdot {{R}^{2}}}{2}+m\cdot {{R}^{2}})\cdot \frac{\varphi }{t},m\cdot 2\cdot \pi \cdot {{R}^{2}}=(\frac{M\cdot {{R}^{2}}}{2}+m\cdot {{R}^{2}})\cdot \varphi , \\
 & \varphi =\frac{m\cdot 2\cdot \pi \cdot {{R}^{2}}}{\frac{M\cdot {{R}^{2}}}{2}+m\cdot {{R}^{2}}}\,,\varphi =\frac{m\cdot 2\cdot \pi }{\frac{M}{2}+m}(7). \\
 & \varphi =\frac{2\cdot \pi \cdot 80}{\frac{280}{2}+80}=0,73\cdot \pi . \\
\end{align}
 \]

m – масса человека, М – масса диска.
Ответ: 131°.