Решение.
Для решения задачи используем закон сохранения энергии. Потенциальная энергия переходит в кинетическую энергию. Кинетическая энергия состоит из энергии поступательного движения и энергии вращательного движения.
\[ m\cdot g\cdot h=\frac{m\cdot {{\upsilon }^{2}}}{2}+\frac{J\cdot {{\omega }^{2}}}{2}\ \ \ (1). \]
m – масса тела которое скатывается,
h – высота с которой скатывается тело (см. рис.), υ – линейная скорость тела,
J – момент инерции тела, ω – угловая скорость вращения тела.
Угловая скорость связана с линейной скоростью
\[ \omega =\frac{\upsilon }{R}\ \ \ (2). \]
Момент инерции сплошного шара определяется по формуле
\[ J=\frac{2\cdot m\cdot {{R}^{2}}}{5}\ \ \ (3).
\]
Подставим (3) и (2) в (1) определить скорость поступательного движения шара в конце наклонной плоскости
\[ \begin{align}
& m\cdot g\cdot h=\frac{m\cdot {{\upsilon }^{2}}}{2}+\frac{2\cdot m\cdot {{R}^{2}}\cdot {{\upsilon }^{2}}}{5\cdot 2\cdot {{R}^{2}}},g\cdot h=\frac{{{\upsilon }^{2}}}{2}+\frac{{{\upsilon }^{2}}}{5}, \\
& g\cdot h=\frac{7\cdot {{\upsilon }^{2}}}{10},\ {{\upsilon }^{2}}=\frac{10\cdot g\cdot h}{7},\upsilon =\sqrt{\frac{10\cdot g\cdot h}{7}}\ \ \ (4),h=l\cdot \sin \alpha (5), \\
& \upsilon =\sqrt{\frac{10\cdot g\cdot l\cdot \sin \alpha }{7}}\,(6). \\
& \upsilon =\sqrt{\frac{10\cdot 10\cdot 1\cdot 0,5}{7}}=2,7. \\
\end{align} \]
Ответ: 2,7 м/с.
