Тепловой двигатель работает по циклу

[Антон Огурцевич]

11. Тепловой двигатель работает по циклу, состоящему из изотермического, изобарического и адиабатического процессов. При изобарическом процессе рабочее вещество – воздух – массой 6 кг нагревается от температуры 61 K до температуры 418 K. Определить изменение энтропии рабочего вещества при изотермическом сжатии. Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение. Покажем рисунок.
Участок 1 → 2 – изобарное нагревание, 2 → 3 – адиабатическое расширение, 3 → 1 – изотермическое сжатие.
Энтропия системы является функцией ее состояния, которая характеризует хаотичность (неупорядоченность) системы. Энтропию часто называют приведенной теплотой, т.к. она показывает отношение теплоты до абсолютной температуры газа. Если система совершает равновесный переход из состояния 3 в состояние 1, то изменение энтропии

\[ \begin{align}
  & \Delta {{S}_{3\to 1}}={{S}_{1}}-{{S}_{3}}=\int\limits_{3}^{1}{\frac{\delta Q}{T}}=\int\limits_{3}^{1}{\frac{dU+\delta A}{T}}(1). \\
 & T=const,\Delta T=0,dU=\frac{m}{M}\cdot {{C}_{V}}\cdot dT,dU=0(2). \\
 & p\cdot V=\frac{m}{M}\cdot R\cdot T,p=\frac{m}{M}\cdot R\cdot \frac{T}{V},\delta A=p\cdot dV,\delta A=\frac{m}{M}\cdot \frac{R\cdot T}{V}dV(3). \\
 & \Delta S=\frac{m}{M}\cdot R\cdot \frac{T}{T}\int\limits_{{{V}_{3}}}^{{{V}_{1}}}{\frac{dV}{V}}=\frac{m}{M}\cdot R\cdot \left. \ln V \right|_{{{V}_{3}}}^{{{V}_{1}}}=\frac{m}{M}\cdot R\cdot (\ln {{V}_{1}}-\ln {{V}_{3}})=\frac{m}{M}\cdot R\cdot \ln \frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{3}}}(4). \\
\end{align} \]

Определим отношение объёма V₁/V₃.
Рассмотрим изобарный процесс

\[ p=const,\frac{{{V}_{1}}}{{{T}_{1}}}=\frac{{{V}_{2}}}{{{T}_{2}}},{{V}_{1}}=\frac{{{V}_{2}}\cdot {{T}_{1}}}{{{T}_{2}}}(5). \]

Рассмотрим адиабатный процесс. Газ при адиабатическом процессе расширяется от объема V₂ до V₃, то его температура уменьшается от Т₂ до Т₁, для адиабатического процесса выполняется условие 

\[ \begin{align}
  & T\cdot {{V}^{\gamma -1}}=const,\,{{T}_{2}}\cdot V_{2}^{\gamma -1}={{T}_{1}}\cdot V_{3}^{\gamma -1},T_{2}^{\frac{1}{\gamma -1}}\cdot {{V}_{2}}=T_{1}^{\frac{1}{\gamma -1}}\cdot {{V}_{3}},{{V}_{3}}={{V}_{2}}\cdot {{(\frac{{{T}_{2}}}{{{T}_{1}}})}^{\frac{1}{\gamma -1}}}, \\
 & {{V}_{3}}={{V}_{2}}\cdot {{(\frac{{{T}_{1}}}{{{T}_{2}}})}^{-\frac{1}{\gamma -1}}}(6). \\
\end{align} \]

Где: γ – показатель адиабаты,

\[ \gamma =\frac{{{C}_{p}}}{{{C}_{V}}}(7)\ . \]

С_р и С_V – теплоемкость при изобарном и изохорном процессе.
Теплоемкость газа при изобарном процессе связана с теплоемкостью газа при изохорном процессе соотношением (уравнение Майера):

\[ {{C}_{p}}={{C}_{V}}+R,\gamma =\frac{{{C}_{V}}+R}{{{C}_{V}}},\gamma =1+\frac{R}{{{C}_{V}}},{{C}_{V}}=\frac{i}{2}\cdot R(8),\gamma =\frac{i+2}{i}.\gamma =\frac{8}{6}=\frac{4}{3}(9).
 \]

Где ι = 6, так как воздух многоатомный газ, R = 8,31 Дж/моль∙К, R – универсальная газовая постоянная, М – малярная масса воздуха, М = 29 ∙10^-3 кг/моль.
(9) подставим в (6), (6) и (5) подставим в (4) определим изменение энтропии рабочего вещества при изотермическом сжатии

\[ \begin{align}
  & {{V}_{3}}={{V}_{2}}\cdot {{(\frac{{{T}_{1}}}{{{T}_{2}}})}^{-\frac{1}{\frac{4}{3}-1}}},{{V}_{3}}={{V}_{2}}\cdot {{(\frac{{{T}_{1}}}{{{T}_{2}}})}^{-3}}. \\
 & \Delta S=\frac{m}{M}\cdot R\cdot \ln \frac{{{V}_{2}}\cdot \frac{{{T}_{1}}}{{{T}_{2}}}}{{{V}_{2}}\cdot {{(\frac{{{T}_{1}}}{{{T}_{2}}})}^{-3}}},\Delta S=\frac{m}{M}\cdot R\cdot \ln {{(\frac{{{T}_{1}}}{{{T}_{2}}})}^{4}}(10). \\
 & \Delta S=\frac{6}{29\cdot {{10}^{-3}}}\cdot 8,31\cdot \ln {{(\frac{61}{418})}^{4}}=-13236. \\
\end{align} \]

Ответ: -13236 Дж/К.