10. Вариант 1. Небольшое тело соскальзывает без трения с вершины неподвижной полусферы радиусом R = 0,75 м. На какой высоте h тело оторвется от поверхности полусферы (рис. 1)?
Решение. В момент отрыва (на высоте h) тело перестает давить на поверхность полусферы — обращается в ноль сила реакции опоры (N) и на тело действует только сила тяжести (m·g). Но еще в этот момент времени тела движется по окружности радиусом R. Из второго закона Ньютона (рис. 2):
\[0Y:\; \; m\cdot a=N_{x} +m\cdot g\cdot \cos \alpha ,\]
где
\[a=\frac{\upsilon ^{2} }{R} ,\; \; \cos \alpha =\frac{h}{R} ,\; \; N_{x} =0.\]
Примечание. Ось 0Y направляем по радиусу, тогда проекция тангенциального ускорения (которое направлено по касательной) будет равна нулю. Получаем
\[m\cdot \frac{\upsilon ^{2} }{R} =m\cdot g\cdot \frac{h}{R} ,\, \, \, \upsilon ^{2} =g\cdot h.\; \; \; (1)\]
Квадрат скорости найдем из закона сохранения энергии. Сделаем схематический чертеж. За нулевую высоту примем высоту основания полусферы.
Полная механическая энергия тела в начальном состоянии
\[E_{0} =E_{p0} =m\cdot g\cdot h_{0} =m\cdot g\cdot R.\]
Полная механическая энергия тела в конечном состоянии
\[E=E_{p} +E_{k} =m\cdot g\cdot h+\frac{m\cdot \upsilon _{}^{2} }{2} .\]
Так как нет внешних сил, то запишем закон сохранения механической энергии и решим полученное уравнение:
\[m\cdot g\cdot R=m\cdot g\cdot h+\frac{m\cdot \upsilon _{}^{2} }{2} ,\; \; g\cdot R=g\cdot h+\frac{\upsilon _{}^{2} }{2} .\]
С учетом уравнения (1) получим
\[g\cdot R=g\cdot h+\frac{g\cdot h}{2} ,\, \, \, \; h=\frac{2R}{3} ,\]
h = 0,50 м.
10. Вариант 2. Маленький шарик массой 0,2 кг находится на конце нерастяжимой нити, другой конец которой закреплен. Нить приводят в горизонтальное положение и отпускают без начальной скорости (рис. 3). Чему равна сила натяжения нити в тот момент, когда она составляет угол 60° с вертикалью?
Решение. Из второго закона Ньютона для конечного положения (рис. 4):
\[0Y:\; \; m\cdot a=T-m\cdot g\cdot \cos \alpha ,\]
где
\[a=\frac{\upsilon ^{2} }{R} =\frac{\upsilon ^{2} }{l} .\]
Примечание. Ось 0Y направляем вдоль нити, тогда проекция тангенциального ускорения (которое направлено по касательной) будет равна нулю. Получаем
\[m\cdot \, \frac{\upsilon ^{2} }{l} =T-m\cdot g\cdot \cos \alpha .\]
Квадрат скорости найдем из закона сохранения энергии. Сделаем схематический чертеж. За нулевую высоту примем точку окружности, в которой надо найти силу натяжения.
Полная механическая энергия тела в начальном состоянии
\[E_{0} =E_{p0} =m\cdot g\cdot h_{0} =m\cdot g\cdot l\cdot \cos \alpha .\]
Полная механическая энергия тела в конечном состоянии
\[E=E_{k} =\frac{m\cdot \upsilon _{}^{2} }{2} .\]
Так как нет внешних сил, то запишем закон сохранения механической энергии и решим полученное уравнение:
\[m\cdot g\cdot l\cdot \cos \alpha =\frac{m\cdot \upsilon _{}^{2} }{2} ,\, \, \, \upsilon _{}^{2} =2g\cdot l\cdot \cos \alpha .\]
В итоге получим
\[T=m\cdot \, \left(\frac{\upsilon ^{2} }{l} +g\cdot \cos \alpha \right)=m\cdot \, \left(2g\cdot \cos \alpha +g\cdot \cos \alpha \right)=3m\cdot g\cdot \cos \alpha ,\]
Т = 3 Н.
