Деталь в виде равностороннего треугольника

[Антон Огурцевич]

8-17. Деталь в виде равностороннего треугольника сварили из трёх одинаковых однородных тонких стержней массы m и длины l каждый. Ось О проходит перпендикулярно плоскости детали через вершину треугольника. Найти момент инерции детали относительно этой оси. m = 1 кг, l = 1 м. Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение.
  Момент инерции твёрдого тела относительно какой-либо оси зависит от массы, формы и размеров тела, а также и от положения тела по отношению к этой оси. Согласно теореме Штейнера (теореме Гюйгенса-Штейнера), момент инерции тела J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела J₀ относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями.
  Момент инерции треугольника относительно оси, проходящей перпендикулярно плоскости треугольника через точку О определим по формуле

J = J_АО + J_ОВ + J_АВ, J_АО = J_ОВ, J =2∙ J_АО + J_АВ  (1).

J_АО  момент инерции стержня относительно оси, проходящей перпендикулярно плоскости треугольника через точку О определим по формуле

\[ {{J}_{AO}}={{J}_{0}}+m\cdot d_{1}^{2},d _{1}=\frac{l}{2},{{J}_{0}}=\frac{m\cdot {{l}^{2}}}{12},{{J}_{AO}}=\frac{m\cdot {{l}^{2}}}{12}+m\cdot {{(\frac{l}{2})}^{2}},{{J}_{AO}}=\frac{m\cdot {{l}^{2}}}{12}+\frac{m\cdot {{l}^{2}}}{4},{{J}_{AO}}=\frac{m\cdot {{l}^{2}}}{3}(2).
 \]

J_АВ  момент инерции стержня относительно оси, проходящей перпендикулярно плоскости треугольника через точку О определим по формуле

\[ \begin{align}
  & {{J}_{AB}}={{J}_{0}}+m\cdot d_{2}^{2},{{d}_{2}}=\sqrt{{{l}^{2}}-{{(\frac{l}{2})}^{2}}}=\frac{\sqrt{3}\cdot l}{2},{{J}_{0}}=\frac{m\cdot {{l}^{2}}}{12},{{J}_{AB}}=\frac{m\cdot {{l}^{2}}}{12}+m\cdot {{(\frac{\sqrt{3}\cdot l}{2})}^{2}}, \\
 & {{J}_{AB}}=\frac{m\cdot {{l}^{2}}}{12}+\frac{3\cdot m\cdot {{l}^{2}}}{4},{{J}_{AB}}=\frac{10\cdot m\cdot {{l}^{2}}}{12}=\frac{5\cdot m\cdot {{l}^{2}}}{6}(3). \\
 & J=2\cdot \frac{m\cdot {{l}^{2}}}{3}+\frac{5\cdot m\cdot {{l}^{2}}}{6},J=\frac{9\cdot m\cdot {{l}^{2}}}{6}=1,5\cdot m\cdot {{l}^{2}}(4). \\
 & J=1,5\cdot 1\cdot {{1}^{2}}=1,5. \\
\end{align}
 \]

Ответ: 1,5 кг∙м².