Решение. Момент инерции твёрдого тела относительно какой-либо оси зависит от массы, формы и размеров тела, а также и от положения тела по отношению к этой оси. Согласно теореме Штейнера (теореме Гюйгенса-Штейнера), момент инерции тела
J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела
J0 относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы тела
m на квадрат расстояния
d между осями.
1) Момент инерции получившейся детали относительно оси, проходящей перпендикулярно плоскости через точку
О определим по формуле
J = J1 + J2 (1).
J1 момент инерции первого тонкого однородного стержня,
J2 момент инерции второго тонкого однородного стержня.
Запишем формулу для определения момента инерции первого тонкого однородного стержня относительно оси, проходящей перпендикулярно плоскости через точку
О\[ {{J}_{1}}={{J}_{0}}+m\cdot d_{1}^{2},{{J}_{0}}=\frac{m\cdot {{l}^{2}}}{12},{{d}_{1}}=\frac{l}{2},{{J}_{1}}=\frac{m\cdot {{l}^{2}}}{12}+\frac{m\cdot {{l}^{2}}}{4}=\frac{m\cdot {{l}^{2}}}{3}(2). \]
Запишем формулу для определения момента инерции второго тонкого однородного стержня относительно оси, проходящей перпендикулярно плоскости через точку
О \[ \begin{align}
& {{J}_{2}}={{J}_{0}}+m\cdot d_{2}^{2},{{d}_{2}}=\sqrt{{{l}^{2}}+{{(\frac{l}{2})}^{2}}}=\frac{\sqrt{5}\cdot l}{2},{{J}_{0}}=\frac{m\cdot {{l}^{2}}}{12},{{J}_{2}}=\frac{m\cdot {{l}^{2}}}{12}+m\cdot {{(\frac{\sqrt{5}\cdot l}{2})}^{2}}, \\
& {{J}_{2}}=\frac{m\cdot {{l}^{2}}}{12}+\frac{5\cdot m\cdot {{l}^{2}}}{4},{{J}_{2}}=\frac{16\cdot m\cdot {{l}^{2}}}{12}=\frac{4\cdot m\cdot {{l}^{2}}}{3}(3). \\
& J=\frac{m\cdot {{l}^{2}}}{3}+\frac{4\cdot m\cdot {{l}^{2}}}{3},J=\frac{5\cdot m\cdot {{l}^{2}}}{3}(4). \\
& J=\frac{5\cdot 1\cdot {{1}^{2}}}{3}=1,67. \\
\end{align} \]
Ответ: 1,67 кг∙м
2.
