В вершинах равностороннего треугольника находятся точечные заряды

[Антон Огурцевич]

В вершинах равностороннего треугольника находятся точечные заряды по 10^-8 Кл каждый. Длина стороны треугольника 10 см. Определить напряжённость электрического поля в центре треугольника и в точке, лежащей на середине стороны треугольника. Окружающей средой является воздух. Сделать рисунок.

[Сергей]

1) Определим напряжённость электрического поля в центре треугольника (рис 1).
Центр правильного равностороннего треугольника находится на пересечении биссектрис и высот. Расстояние от точки О до вершины треугольника равно радиусу описанной окружности около равностороннего треугольника.

\[ R=\frac{a}{2\cdot \sin \alpha }(1),sin\alpha ={{60}^{0}}.R=\frac{0,1}{2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{0,1}{\sqrt{3}}.
 \]

Определим числовые значения напряженности Е₁, Е₂ и Е₃ в центре треугольника.\[ {{E}_{1}}={{E}_{2}}={{E}_{3}}=\frac{k\cdot \left| {{q}_{1}} \right|}{{{R}^{2}}}(2),{{E}_{1}}={{E}_{2}}={{E}_{3}}=\frac{9\cdot {{10}^{9}}\cdot {{10}^{-8}}}{{{(\frac{0,1}{\sqrt{3}})}^{2}}}=\frac{9\cdot {{10}^{9}}\cdot {{10}^{-8}}\cdot 3}{0,1\cdot 0,1}=27\cdot {{10}^{3}}. \]Результирующая напряженность равна векторной суме напряженностей создаваемой каждым зарядом в центре равностороннего треугольника.

\[ \vec{E}={{\vec{E}}_{1}}+{{\vec{E}}_{2}}+{{\vec{E}}_{3}}(3). \]

Определим модуль напряженности суммы векторов Е₁ и Е₂. Угол между векторами Е₁ и Е₂ равен 120°.
Для определения модуля напряженности Е₁₂  используем теорему косинусов.

\[ \begin{align}
  & E_{12}^{2}=E_{1}^{2}+E_{2}^{2}+2\cdot {{E}_{1}}\cdot {{E}_{2}}\cdot \cos {{120}^{0}},E_{12}^{2}=2\cdot E_{1}^{2}-2\cdot E_{1}^{2}\cdot \sin {{30}^{0}}, \\
 & E_{12}^{2}=E_{1}^{2}\cdot (2-1),{{E}_{12}}=E_{1}^{}(4).{{E}_{12}}=27\cdot {{10}^{3}}. \\
\end{align} \]

Вектора Е₁₂ и Е₃ по модулю равны, но направлены в разные стороны по одной прямой, их результирующая равна нулю.

Е = 0.

2) Определим напряжённость электрического поля в точке, лежащей на середине стороны треугольника (рис 2).
От зарядов q₁ и q₂ до середины стороны (точка С) расстояние R₁ = R₂ = 0,5∙а.
 Рассмотрим треугольник АВС, треугольник прямоугольный, угол С = 90°, угол А = 60°. Определим расстояние ВС.

\[ BC={{R}_{3}}=AB\cdot \sin {{60}^{0}},{{R}_{3}}=a\cdot \sin {{60}^{0}},{{R}_{3}}=0,1\cdot \frac{\sqrt{3}}{2},{{R}_{3}}=0,05\cdot \sqrt{3}.
 \]

Определим числовые значения напряженности Е₁, Е₂ и Е₃ в точке С.

\[ \begin{align}
  & {{E}_{1}}={{E}_{2}}=\frac{k\cdot \left| {{q}_{1}} \right|}{R_{1}^{2}}(2),{{E}_{1}}={{E}_{2}}=\frac{9\cdot {{10}^{9}}\cdot {{10}^{-8}}}{{{(0,5\cdot 0,1)}^{2}}}=\frac{9\cdot {{10}^{9}}\cdot {{10}^{-8}}}{25\cdot {{10}^{-4}}}=36\cdot {{10}^{3}}. \\
 & {{E}_{3}}=\frac{k\cdot \left| {{q}_{3}} \right|}{R_{3}^{2}}(3),{{E}_{3}}=\frac{9\cdot {{10}^{9}}\cdot {{10}^{-8}}}{{{(0,05\cdot \sqrt{3})}^{2}}}=\frac{9\cdot {{10}^{9}}\cdot {{10}^{-8}}}{25\cdot {{10}^{-4}}\cdot 3}=12\cdot {{10}^{3}}. \\
\end{align} \]

Результирующая напряженность равна векторной суме напряженностей создаваемой каждым зарядом в точке С.

\[ \vec{E}={{\vec{E}}_{1}}+{{\vec{E}}_{2}}+{{\vec{E}}_{3}}.
 \]

Вектора Е₁ и Е₂ по модулю равны, на направлены в разные стороны по одной прямой, их результирующая равна нулю.
Е = Е₃, Е =12∙10³ В/м.
Ответ: 1) 0, 2) 12∙10³ В/м.