Вариант 1 В3. Два мяча одновременно бросили с горизонтальной поверхности Земли с одинаковой по модулю скоростью (υ
1 = υ
2) и под одинаковым углом α к горизонту (рис.). После столкновения мячей первый мяч упал вертикально вниз на расстоянии
l1 = 2,0 м от точки бросания, а второй мяч упал на расстоянии
l2 = 3,0 м от точки падения первого мяча. Время движения мячей от момента броска до момента столкновения равно времени движения мячей от момента столкновения до момента падения (τ
6р = τ
п). Если масса первого мяча m
1 = 100 г, то масса второго мяча m
2 равна ... г.
Решение. Анализ условия: 1) Так как «Два мяча одновременно бросили с горизонтальной поверхности Земли с одинаковой по модулю скоростью (υ
1 = υ
2) и под одинаковым углом α к горизонту», то столкнуться они на середине между ними. 2) Так как «первый мяч упал вертикально вниз на расстоянии l
1 = 2,0 м от точки бросания», то горизонтальная составляющая скорости этого мяча сразу же после удара равна нулю, а расстояние между мяча вначале было L = 2l
1 = 4,0 м. 3) Так как «второй мяч упал на расстоянии l
2 = 3,0 м от точки падения первого мяча», а «первый мяч упал вертикально вниз», то второй мяч после удара пролетел по горизонтали l
2 = 3,0 м. 4) Так как «Время движения мячей от момента броска до момента столкновения равно времени движения мячей от момента столкновения до момента падения», то вертикальные составляющие скоростей υ
y до и после столкновения мячей должны быть равны. С учетом п. 2, получаем что и до столкновения υ
y = 0, т.е. тела столкнулись на максимальной высоте.
1 способ. Обозначим скорости мячей до столкновения υ
10 = υ
20 (υ
10 = υ
20 = υ
1·cos α), после столкновения скорость первого мяча υ
к1 = 0 (см. анализ, п. 2), скорость второго мяча υ
к2. Найдем массу m
2 через закон сохранения импульса (рис. 2):
\[0X:\; \; m_{1} \cdot \upsilon _{10} -m_{2} \cdot \upsilon _{20} =m_{2} \cdot \upsilon _{k2x} ,\; \; m_{2} =\frac{m_{1} \cdot \upsilon _{10} }{\upsilon _{k2x} +\upsilon _{20} } =\frac{m_{1} \cdot \upsilon _{1} \cdot \cos \alpha }{\upsilon _{k2x} +\upsilon _{1} \cdot \cos \alpha } .\; \; \; (1)\]
Для первого мяча можно записать:
\[l_{1} =\upsilon _{1} \cdot \cos \alpha \cdot \tau _{bp} .\; \; \; (2)\]
Для второго мяча (рис. 3):
\[l_{2} =\upsilon _{k2} \cdot \tau _{n} \; \; \; (3).\]
Решим систему уравнений (1)-(3), учитывая при этом, что τ
6р = τ
п:
\[\upsilon _{1} \cdot \cos \alpha =\frac{l_{1} }{\tau _{bp} } ,\; \; \upsilon _{k2} =\frac{l_{2} }{\tau _{n} } .\]
Так как мы не знаем знак проекции скорости υ
к2x, то
\[\upsilon _{k2x} =\pm \frac{l_{2} }{\tau _{n} } ,\]
\[m_{2} =\frac{m_{1} \cdot \frac{l_{1} }{\tau _{bp} } }{\upsilon _{k2x} +\frac{l_{1} }{\tau _{bp} } } =\frac{m_{1} \cdot \frac{l_{1} }{\tau _{bp} } }{\pm \frac{l_{2} }{\tau _{n} } +\frac{l_{1} }{\tau _{bp} } } =\frac{m_{1} \cdot l_{1} }{\pm l_{2} +l_{1} } .\]
Так как l
2 > l
1, то υ
к2x не может быть отрицательной (иначе m
2 получается отрицательной), следовательно, m
2 = 40 г.
Формально ответ получен.
2 способ. Найдем массу второго шарика через закон сохранения энергии (см. рис. 2):
\[\frac{m_{1} \cdot \upsilon _{10}^{2} }{2} +\frac{m_{2} \cdot \upsilon _{20}^{2} }{2} =\frac{m_{2} \cdot \upsilon _{k2}^{2} }{2} ,\; \; m_{2} =\frac{m_{1} \cdot \upsilon _{10}^{2} }{\upsilon _{k2}^{2} -\upsilon _{20}^{2} } =\frac{m_{1} \cdot \left(\upsilon _{1} \cdot \cos \alpha \right)^{2} }{\upsilon _{k2}^{2} -\left(\upsilon _{1} \cdot \cos \alpha \right)^{2} } .\]
С учетом уравнением (2) и (3) получаем
\[m_{2} =\frac{m_{1} \cdot \left(\frac{l_{1} }{\tau _{bp} } \right)^{2} }{\left(\frac{l_{2} }{\tau _{n} } \right)^{2} -\left(\frac{l_{1} }{\tau _{bp} } \right)^{2} } =\frac{m_{1} \cdot l_{1}^{2} }{l_{2}^{2} -l_{1}^{2} } ,\]
m
2 = 80 г.
3 способ. Решим систему двух уравнений: законы сохранения импульса и энергии.
\[m_{1} \cdot \upsilon _{10} -m_{2} \cdot \upsilon _{20} =m_{2} \cdot \upsilon _{k2x} ,\; \; m_{1} \cdot \upsilon _{10}^{2} +m_{2} \cdot \upsilon _{20}^{2} =m_{2} \cdot \upsilon _{k2}^{2} ,\]
\[\upsilon _{k2}^{2} =\left(\frac{m_{1} }{m_{2} } \cdot \upsilon _{10} -\upsilon _{20} \right)^{2} =\frac{m_{1} }{m_{2} } \cdot \upsilon _{10}^{2} +\upsilon _{20}^{2} ,\; \; \left(\frac{m_{1} }{m_{2} } -1\right)^{2} =\frac{m_{1} }{m_{2} } +1,\]
\[\left(\frac{m_{1} }{m_{2} } \right)^{2} +1-\frac{2m_{1} }{m_{2} } =\frac{m_{1} }{m_{2} } +1,\; \; \left(\frac{m_{1} }{m_{2} } \right)^{2} =\frac{3m_{1} }{m_{2} } ,\; \; m_{2} =\frac{m_{1} }{3} ,\]
m
2 = 33 г.
Вывод. 1) Ситуация, когда после упругого центрального удара двух движущихся тел, тело с массой m
1 останавливается, возможна только при m
2 = m
1/3. И все пройденные расстояния (и скорости) после удара на это никак не влияют. А наблюдается зависимость расстояний
l1 и
l2 друг от друга. Например, при m
1 = 100 г,
l1 = 2 м расстояние
l2 должно быть равным 4 м:
\[m_{2} =\frac{m_{1} \cdot l_{1} }{\pm l_{2} +l_{1} } ,\; \; \pm l_{2} =\left(\frac{m_{1} }{m_{2} } -1\right)\cdot l_{1} =2l_{1} .\]
И тогда все три способа дадут один и тот же ответ.
2) В условии задачи нигде не указано, что удар упругий (но это очень напрашивается, т.к. тела - мячи). Тогда применять закон сохранения энергии нельзя. И правильным будет только первый способ.
PS Задача на тему "Тело брошено под углом к горизонту", которая не изучается в школе.
