Два одинаковых металлических заряженных шара

[Антон Огурцевич]

Два одинаковых металлических заряженных шара находятся на расстоянии r = 50 см. Сила отталкивания шаров F₁ = 100 мкН. После того как шары привели в соприкосновение и удалили друг от друга на прежнее расстояние, сила отталкивания возросла и стала равной F₂ = 200 мкН. Вычислить заряды Q₁ и Q₂, которые были на шарах до их соприкосновения. Диаметр шаров считать много меньшим расстояния между ними. Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение. Запишем закон Кулона для шариков до соприкосновения

\[ {{F}_{1}}=\frac{k\cdot \left| {{Q}_{1}} \right|\cdot \left| {{Q}_{2}} \right|}{{{r}^{2}}}(1). \]

При соприкосновении заряд межу шариками перераспределится, учитываем, что шарики одинаковые, то на них будут одинаковые заряды Q. Запишем закон сохранения электрического заряда:

\[ {{Q}_{1}}+{{Q}_{2}}=2\cdot Q,Q=Q_{1}^{'}=Q_{2}^{'}=\frac{{{Q}_{1}}+{{Q}_{2}}}{2}(2). \]

Запишем закон Кулона для шариков после соприкосновения

\[ {{F}_{2}}=\frac{k\cdot \left| Q{{'}_{1}} \right|\cdot \left| Q{{'}_{2}} \right|}{{{r}^{2}}},{{F}_{2}}=\frac{k\cdot {{\left| Q \right|}^{2}}}{{{r}^{2}}},{{F}_{2}}=\frac{k\cdot {{(\frac{{{Q}_{1}}+{{Q}_{2}}}{2})}^{2}}}{{{r}^{2}}},{{F}_{2}}=\frac{k\cdot {{({{Q}_{1}}+{{Q}_{2}})}^{2}}}{4\cdot {{r}^{2}}}(3). \]

Решим систему уравнений (1) и (3) вычислим заряды Q₁ и Q₂, которые были на шарах до их соприкосновения

\[ \begin{align}
  & {{F}_{1}}=\frac{k\cdot \left| {{Q}_{1}} \right|\cdot \left| {{Q}_{2}} \right|}{{{r}^{2}}},{{Q}_{1}}\cdot {{Q}_{2}}=\frac{{{F}_{1}}\cdot {{r}^{2}}}{k},{{Q}_{1}}\cdot {{Q}_{2}}=\frac{100\cdot {{10}^{-6}}\cdot {{0,5}^{2}}}{9\cdot {{10}^{9}}},{{Q}_{1}}\cdot {{Q}_{2}}=\frac{25\cdot {{10}^{-15}}}{9}(1). \\
 & {{F}_{2}}=\frac{k\cdot {{({{Q}_{1}}+{{Q}_{2}})}^{2}}}{4\cdot {{r}^{2}}},{{({{Q}_{1}}+{{Q}_{2}})}^{2}}=\frac{4\cdot {{F}_{2}}\cdot {{r}^{2}}}{k},{{({{Q}_{1}}+{{Q}_{2}})}^{2}}=\frac{4\cdot 200\cdot {{10}^{-6}}\cdot {{0,5}^{2}}}{9\cdot {{10}^{9}}},{{({{Q}_{1}}+{{Q}_{2}})}^{2}}=\frac{200\cdot {{10}^{-15}}}{9}(3). \\
 & Q_{1}^{2}+Q_{2}^{2}+2\cdot {{Q}_{1}}\cdot {{Q}_{2}}=\frac{200\cdot {{10}^{-15}}}{9},Q_{1}^{2}+Q_{2}^{2}+2\cdot \frac{25\cdot {{10}^{-15}}}{9}=\frac{200\cdot {{10}^{-15}}}{9},Q_{1}^{2}+Q_{2}^{2}=\frac{150\cdot {{10}^{-15}}}{9}. \\
\end{align} \]

Составляем квадратное уравнение и находим его корни

\[ \begin{align}
  & {{Q}_{1}}=\frac{25\cdot {{10}^{-15}}}{9\cdot {{Q}_{2}}},(1).{{(\frac{25\cdot {{10}^{-15}}}{9\cdot {{Q}_{2}}})}^{2}}+Q_{2}^{2}=\frac{150\cdot {{10}^{-15}}}{9},Q_{2}^{4}-\frac{150\cdot {{10}^{-15}}}{9}\cdot Q_{2}^{2}+\frac{625\cdot {{10}^{-30}}}{81}=0, \\
 & Q_{2}^{2}=x,{{x}^{2}}-\frac{150\cdot {{10}^{-15}}}{9}\cdot x+\frac{625\cdot {{10}^{-30}}}{81}=0, \\
 & D=\frac{22500\cdot {{10}^{-30}}}{81}-4\cdot \frac{625\cdot {{10}^{-30}}}{81}=\frac{20000\cdot {{10}^{-30}}}{81}. \\
 & {{x}_{1}}=\frac{\frac{150\cdot {{10}^{-15}}}{9}-\sqrt{\frac{20000\cdot {{10}^{-30}}}{81}}}{2}=\frac{\frac{150\cdot {{10}^{-15}}}{9}-\frac{141\cdot {{10}^{-15}}}{9}}{2}=0,5\cdot {{10}^{-15}}=5\cdot {{10}^{-16}}, \\
 & {{x}_{2}}=\frac{\frac{150\cdot {{10}^{-15}}}{9}+\sqrt{\frac{20000\cdot {{10}^{-30}}}{81}}}{2}=\frac{\frac{150\cdot {{10}^{-15}}}{9}+\frac{141\cdot {{10}^{-15}}}{9}}{2}=16\cdot {{10}^{-15}}=160\cdot {{10}^{-16}}. \\
 & {{Q}_{2}}=\sqrt{5\cdot {{10}^{-16}}}=2,2\cdot {{10}^{-8}},{{Q}_{1}}=\frac{25\cdot {{10}^{-15}}}{9\cdot 2,2\cdot {{10}^{-8}}}=12,6\cdot {{10}^{-8}}, \\
 & {{Q}_{2}}=\sqrt{160\cdot {{10}^{-16}}}=12,6\cdot {{10}^{-8}},{{Q}_{1}}=\frac{25\cdot {{10}^{-15}}}{9\cdot 12,6\cdot {{10}^{-8}}}=2,2\cdot {{10}^{-8}}. \\
\end{align} \]

Ответ: Q₁ = 12,6∙10^-8 Кл, Q₂ = 2,2∙10^-8 Кл,
Q₁ = 2,2∙10^-8 Кл, Q₂ = 12,6∙10^-8 Кл.