Определить коэффициент затухания для колебательного контура

[Антон Огурцевич]

3. Определить коэффициент затухания для колебательного контура с конденсатором ёмкостью 400 нФ и катушкой индуктивностью 150 мГн, если на поддержание в этом контуре незатухающих колебаний с амплитудой напряжения на конденсаторе 1 В требуется мощность 50 мкВт. Какова добротность этого контура. Примечание: изобразите на рисунке электрический колебательный контур, в котором возникают свободные затухающие колебания. Ответ: β = 125 с^-1; Q = 16,4. Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение.
Коэффициент затухания определим по формуле

\[  \delta =\frac{R}{2\cdot L}(1). \]

Определим сопротивление контура, в котором возникают затухающие колебания

\[ \left\langle P \right\rangle ={{I}^{2}}\cdot R,I=\frac{{{I}_{m}}}{\sqrt{2}},\,\left\langle P \right\rangle ={{(\frac{{{I}_{m}}}{\sqrt{2}})}^{2}}\cdot R,\,\left\langle P \right\rangle =\frac{1}{2}\cdot I_{m}^{2}\cdot R,R=\frac{2\cdot \left\langle P \right\rangle }{I_{m}^{2}}(2). \]

I – действующее значение силы тока в контуре, I_m – амплитудное значение силы тока.
  В контуре поддерживаются незатухающие колебания. Определим квадрат амплитудного значения силы тока. Запишем закон сохранения энергии в колебательном контуре

\[ \frac{C\cdot U_{m}^{2}}{2}=\frac{L\cdot I_{m}^{2}}{2},I_{m}^{2}=\frac{C\cdot U_{m}^{2}}{L}(3). \]

Определим коэффициент затухания

\[ \begin{align}
  & R=\frac{2\cdot \left\langle P \right\rangle \cdot L}{C\cdot U_{m}^{2}}(4),\delta =\frac{2\cdot \left\langle P \right\rangle \cdot L}{2\cdot C\cdot U_{m}^{2}\cdot L},\,\delta =\frac{\left\langle P \right\rangle }{C\cdot U_{m}^{2}}(5). \\
 & \delta =\frac{50\cdot {{10}^{-6}}}{400\cdot {{10}^{-9}}\cdot {{1}^{2}}}=125. \\
\end{align} \]

Добротность колебательного контура определим по формуле 

\[ Q=\frac{{{\omega }_{0}}}{2\cdot \delta }\,(6). \]

Циклическую частоту определим по формуле

\[  \begin{align}
  & {{\omega }_{0}}=\frac{1}{\sqrt{L\cdot C}}(7),Q=\frac{1}{\sqrt{L\cdot C}\cdot 2\cdot \delta }(8\,).\, \\
 & Q=\frac{1}{\sqrt{400\cdot {{10}^{-9}}\cdot 150\cdot {{10}^{-3}}}\cdot 2\cdot 125}=16,4. \\
\end{align} \]

Ответ: 125, 16,4.