Батарея состоит из трёх параллельно соединённых источников тока

[Антон Огурцевич]

Задание 7. Батарея состоит из трёх параллельно соединённых источников тока с ЭДС ε = 12 В и с внутренним сопротивлением r = 2 Ом каждый. При каком сопротивлении внешней нагрузки полезная мощность равна 32 Вт? Какую наибольшую мощность можно получить во внешней цепи? Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение.
Запишем закон Ома для полной цепи

\[ \begin{align}
  & I=\frac{\varepsilon }{R+\frac{r}{n}},n=3,\varepsilon =I\cdot R+I\cdot \frac{r}{n},P={{I}^{2}}\cdot R,R=\frac{P}{{{I}^{2}}},\varepsilon =I\cdot \frac{P}{{{I}^{2}}}+I\cdot \frac{r}{n}, \\
 & \varepsilon =\frac{P}{I}+I\cdot \frac{r}{n},I\cdot \varepsilon =I\cdot \frac{P}{I}+{{I}^{2}}\cdot \frac{r}{n},{{I}^{2}}\cdot \frac{r}{n}-I\cdot \varepsilon +P=0,{{I}^{2}}\cdot \frac{2}{3}-I\cdot 12+32=0, \\
 & D={{12}^{2}}-4\cdot \frac{2}{3}\cdot 32=58,67.{{I}_{1}}=\frac{12-\sqrt{58,67}}{2\cdot \frac{2}{3}}=3,26,{{I}_{2}}=\frac{12+\sqrt{58,67}}{2\cdot \frac{2}{3}}=14,7. \\
 & {{R}_{1}}=\frac{32}{{{3,26}^{2}}}=3,{{R}_{1}}=\frac{32}{{{14,7}^{2}}}=0,15. \\
\end{align} \]

Определим какую наибольшую мощность можно получить во внешней цепи

\[ \begin{align}
  & R=\frac{r}{n},{{P}_{\max }}={{I}^{2}}\cdot R,I=\frac{\varepsilon }{R+\frac{r}{n}},{{P}_{\max }}={{(\frac{\varepsilon }{R+\frac{r}{n}})}^{2}}\cdot R,{{P}_{\max }}={{(\frac{\varepsilon }{\frac{r}{n}+\frac{r}{n}})}^{2}}\cdot \frac{r}{n},{{P}_{\max }}=\frac{{{\varepsilon }^{2}}}{4\cdot \frac{r}{n}}. \\
 & {{P}_{\max }}=\frac{{{12}^{2}}}{4\cdot \frac{2}{3}}=54. \\
\end{align} \]

Ответ: R₁ = 3 Ом, R₂ = 0,15 Ом, Р_mах = 54 Вт.