Над центром кольцевого тока

[Антон Огурцевич]

Над центром кольцевого тока 10 А (радиус кольца 16 см) в параллельной кольцу плоскости расположен на расстоянии 8 см прямой длинный провод, по которому протекает ток 8 А. На сколько изменится магнитная индукция в центре кольца, если провод поступательно переместить в параллельной кольцу плоскости на 8 см от первоначального положения? Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение.
Покажем рисунок. Направление вектора магнитной индукции кольцевого тока и прямого длинного проводника с током определим по правилу буравчика.
 А.  1). Проводник расположен над центром кольца (Рис. 1), вектора напряжённости В₁₁ и В₁₂ располагаются перпендикулярно.
   Магнитную индукцию, создаваемую проводником с током, на расстоянии r от проводника определим по формуле

\[ {{B}_{12}}=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot {{I}_{2}}}{2\cdot \pi \cdot r}\ \ \ (1). \]

μ₀ = 4∙π∙10^-7 Н/А² – магнитная постоянная.
Магнитная индукция в центре кругового витка с током определяется по формуле:

\[ {{B}_{11}}=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot {{I}_{1}}}{2\cdot R}\ \ \ (2).
 \]

Результирующий вектор магнитной индукции определим по правилу суперпозиции.

\[ \begin{align}
  & {{{\vec{B}}}_{1}}={{{\vec{B}}}_{11}}+{{{\vec{B}}}_{12}}.B_{1}^{2}=B_{11}^{2}+B_{12}^{2}.{{B}_{1}}=\sqrt{{{(\frac{{{\mu }_{0}}\cdot {{I}_{1}}}{2\cdot R})}^{2}}+{{(\frac{{{\mu }_{0}}\cdot {{I}_{2}}}{2\cdot \pi \cdot r})}^{2}}\ }\ . \\
 & {{B}_{1}}=\sqrt{{{(\frac{4\cdot 3,14\cdot 10}{2\cdot 0,16})}^{2}}+{{(\frac{4\cdot 3,14\cdot 8}{2\cdot 3,14\cdot 0,08})}^{2}}}=440,5. \\
\end{align} \]

2). Проводник поступательно переместили в параллельной кольцу плоскости (Рис. 2). Определим угол между векторами В₂₁ и В₂₂.
Рассмотрим треугольник АВС (Рис. 3). АВ = ВС, угол В = 90º, угол А = углу С = 45º. Вектор В₂₂ перпендикулярен стороне треугольника АС, вектора индукции В₂₁ и В₂₂ располагаются под углом 45º друг к другу.
   Магнитную индукцию, создаваемую проводником с током, на расстоянии r от проводника определим по формуле

\[ {{B}_{22}}=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot {{I}_{2}}}{2\cdot \pi \cdot {{r}_{1}}},{{r}_{1}}=r\cdot \sqrt{2},{{B}_{22}}=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot {{I}_{2}}}{2\cdot \pi \cdot r\cdot \sqrt{2}}\ \ \ (1).
 \]

μ₀ = 4∙π∙10^-7 Н/А² – магнитная постоянная.
Магнитная индукция в центре кругового витка с током определяется по формуле:

\[ {{B}_{21}}=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot {{I}_{1}}}{2\cdot R}\ \ \ (2). \]

Результирующий вектор магнитной индукции определим по правилу суперпозиции.

\[ \begin{align}
  & {{{\vec{B}}}_{2}}={{{\vec{B}}}_{21}}+{{{\vec{B}}}_{22}}.B_{2}^{2}=B_{21}^{2}+B_{22}^{2}+2\cdot {{B}_{21}}\cdot {{B}_{22}}\cdot cos45{}^\circ . \\
 & {{B}_{2}}=\sqrt{{{(\frac{{{\mu }_{0}}\cdot {{I}_{1}}}{2\cdot R})}^{2}}+{{(\frac{{{\mu }_{0}}\cdot {{I}_{2}}}{2\cdot \pi \cdot r\cdot \sqrt{2}})}^{2}}+2\cdot \frac{{{\mu }_{0}}\cdot {{I}_{1}}}{2\cdot R}\cdot \frac{{{\mu }_{0}}\cdot {{I}_{2}}}{2\cdot \pi \cdot r\cdot \sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\ }\ . \\
 & {{B}_{2}}=\sqrt{{{(\frac{4\cdot 3,14\cdot 10}{2\cdot 0,16})}^{2}}+{{(\frac{4\cdot 3,14\cdot 8}{2\cdot 3,14\cdot 0,08\cdot \sqrt{2}})}^{2}}+\frac{4\cdot 3,14\cdot 10}{2\cdot 0,16}\cdot \frac{4\cdot 3,14\cdot 8}{2\cdot 3,14\cdot 0,08}}=502,5. \\
\end{align} \]

Определим, на сколько, изменится магнитная индукция в центре кольца.
∆В = В₂ – В₁.  ∆В = 502,5 – 440,5 = 62.
Ответ: 62 Тл.
 В. Изменим направление тока в круговом витке на противоположное.
1). Проводник расположен над центром кольца. (Вектор В₁₁ изменит направление на противоположное, модуль результирующей индукции вектора В₁ не изменится).
В₁ = 405,5 Тл.
2). Проводник поступательно переместили в параллельной кольцу плоскости (Рис. 4). Вектора индукции В₂₁ и В₂₂ располагаются под углом 180°- 45º=135° друг к другу.
Результирующий вектор магнитной индукции определим по правилу суперпозиции.

\[ \begin{align}
  & {{{\vec{B}}}_{2}}={{{\vec{B}}}_{21}}+{{{\vec{B}}}_{22}}.B_{2}^{2}=B_{21}^{2}+B_{22}^{2}+2\cdot {{B}_{21}}\cdot {{B}_{22}}\cdot cos135{}^\circ . \\
 & {{B}_{2}}=\sqrt{{{(\frac{{{\mu }_{0}}\cdot {{I}_{1}}}{2\cdot R})}^{2}}+{{(\frac{{{\mu }_{0}}\cdot {{I}_{2}}}{2\cdot \pi \cdot r\cdot \sqrt{2}})}^{2}}-2\cdot \frac{{{\mu }_{0}}\cdot {{I}_{1}}}{2\cdot R}\cdot \frac{{{\mu }_{0}}\cdot {{I}_{2}}}{2\cdot \pi \cdot r\cdot \sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\ }\ . \\
 & {{B}_{2}}=\sqrt{{{(\frac{4\cdot 3,14\cdot 10}{2\cdot 0,16})}^{2}}+{{(\frac{4\cdot 3,14\cdot 8}{2\cdot 3,14\cdot 0,08\cdot \sqrt{2}})}^{2}}-\frac{4\cdot 3,14\cdot 10}{2\cdot 0,16}\cdot \frac{4\cdot 3,14\cdot 8}{2\cdot 3,14\cdot 0,08}}=309,12. \\
\end{align}
 \]

Определим, на сколько, изменится магнитная индукция в центре кольца.
∆В = В₁ – В₂.  ∆В = 440,5 – 309,12 = 131,38.
Ответ: 131,38 Тл.