Решение.
Определим, работу газа при изотермическом процессе
\[ {{A}_{1}}=\int\limits_{{{V}_{1}}}^{{{V}_{2}}}{pdV,}{{A}_{1}}=p\cdot V\int\limits_{{{V}_{1}}}^{{{V}_{2}}}{\frac{dV}{V}}=\nu \cdot R\cdot {{T}_{1}}\cdot \ln \frac{{{V}_{2}}}{{{V}_{1}}}(1).
\]
Определим, работу газа при адиабатическом процессе (
Q = 0) первое начало термодинамики можно записать так:
\[ \delta A=-dU,\delta A=-\frac{m}{M}\cdot {{C}_{V}}\cdot dT(2). \]
Если газ адиабатически сжимается от объема
V1 до
V2, то его температура увеличивается от
Т1 до
Т2 и работа сжатия газа
\[ \begin{align}
& {{A}_{2}}=-\nu \cdot {{C}_{V}}\cdot \int\limits_{{{T}_{1}}}^{{{T}_{2}}}{dT=-}\nu \cdot {{C}_{V}}\cdot ({{T}_{2}}-{{T}_{1}})(3),T\cdot {{V}^{\gamma -1}}=const,{{T}_{1}}\cdot {{V}_{1}}^{\gamma -1}={{T}_{2}}\cdot {{V}_{2}}^{\gamma -1}, \\
& {{T}_{2}}={{T}_{1}}\cdot {{(\frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}})}^{\gamma -1}}(4), \\
& {{A}_{2}}=-\nu \cdot {{C}_{V}}\cdot {{T}_{1}}\cdot ({{(\frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}})}^{\gamma -1}}-1)(5). \\
\end{align}
\]
γ – показатель адиабаты,
\[ \gamma =\frac{{{C}_{p}}}{{{C}_{V}}}(6)\ . \]
Ср и
СV – теплоемкость при изобарном и изохорном процессе.
Теплоемкость газа при изобарном процессе связана с теплоемкостью газа при изохорном процессе соотношением (уравнение Майера):
\[ {{C}_{p}}={{C}_{V}}+R,\gamma =\frac{{{C}_{V}}+R}{{{C}_{V}}},\gamma =1+\frac{R}{{{C}_{V}}},{{C}_{V}}=\frac{i}{2}\cdot R(7),\gamma =\frac{i+2}{i}.\gamma =\frac{7}{5}(8).
\]
Где
ι = 5, так как хлор двухатомный газ,
R = 8,31 Дж/моль∙К,
R – универсальная газовая постоянная.
\[ \begin{align}
& {{A}_{2}}=-\nu \cdot \frac{i}{2}\cdot R\cdot {{T}_{1}}\cdot ({{(\frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}})}^{\gamma -1}}-1),{{A}_{2}}=-\nu \cdot \frac{5}{2}\cdot R\cdot {{T}_{1}}\cdot ({{(\frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}})}^{\frac{7}{5}-1}}-1), \\
& {{A}_{2}}=-\nu \cdot \frac{5}{2}\cdot R\cdot {{T}_{1}}\cdot ({{(\frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}})}^{\frac{2}{5}}}-1)(9). \\
\end{align} \]
Определить, как и во сколько раз выгоднее сжимать – адиабатно или изотермически
\[ \frac{{{A}_{2}}}{{{A}_{1}}}=\frac{-\nu \cdot \frac{5}{2}\cdot R\cdot {{T}_{1}}\cdot ({{(\frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}})}^{\frac{2}{5}}}-1)}{\nu \cdot R\cdot {{T}_{1}}\cdot \ln \frac{{{V}_{2}}}{{{V}_{1}}}}=\frac{-\frac{5}{2}\cdot ({{(\frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}})}^{\frac{2}{5}}}-1)}{\ln \frac{{{V}_{2}}}{{{V}_{1}}}}.\frac{{{A}_{2}}}{{{A}_{1}}}=\frac{-\frac{5}{2}\cdot ({{(\frac{5,4\cdot {{10}^{-3}}}{1,5\cdot {{10}^{-3}}})}^{\frac{2}{5}}}-1)}{\ln \frac{1,5\cdot {{10}^{-3}}}{5,4\cdot {{10}^{-3}}}}=\frac{-1,673}{-1,28}=1,3.
\]
Ответ: выгоднее сжимать изотермически чем адиабатно в 1,3 раза.
