Заряд равномерно распределён по объёму шара с радиусом

[Антон Огурцевич]

8. Заряд q равномерно распределён по объёму шара с радиусом R. Определить: а) энергию электрического поля внутри шара; б) энергию поля вне шара; в) изменение полной энергии поля при делении заряженного шара на два равных заряженных шара. Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение.
Объемную плотность энергии можно определить по формуле:

\[ w=\frac{dW}{dV}(1),w=\frac{1}{2}\cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot {{E}^{2}}(2). \]

Е – напряженность электрического поля шара, ε₀ = 8,854∙10^-12 Ф/м – электрическая постоянная.
dV – элемент объема, элемент объема выразим через радиус элементарного сферического слоя.

dV = 4∙π∙r²∙dr      (3).

1). Определим энергию электрического поля внутри шара.
Напряженность поля шара, вычисленная с помощью теоремы Остроградского –Гаусса в нашем случае (r < R): 

\[ \begin{align}
  & E=\frac{q\cdot r}{4\cdot \pi \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot {{R}^{3}}},(r<R)(4). \\
 & dW=wdV,dW=\frac{\varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot {{E}^{2}}}{2}dV,dW=\frac{{{(q\cdot r)}^{2}}}{32\cdot {{\pi }^{2}}\cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot {{R}^{6}}}\cdot 4\cdot \pi \cdot {{r}^{2}}dr=\frac{{{q}^{2}}\cdot {{r}^{4}}}{8\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot {{R}^{6}}}\cdot dr. \\
 & W=\int\limits_{0}^{R}{\frac{{{q}^{2}}\cdot {{r}^{4}}}{8\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot {{R}^{6}}}dr}=\frac{{{q}^{2}}}{8\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot {{R}^{6}}}\left. \cdot \frac{{{r}^{5}}}{5} \right|_{0}^{R}=\frac{{{q}^{2}}}{8\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot {{R}^{6}}}\cdot (\frac{{{R}^{5}}}{5}-0)=\frac{{{q}^{2}}}{40\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot R}. \\
 & W=\frac{{{q}^{2}}}{40\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot R}. \\
\end{align}
 \]

2). Определим энергию электрического поля вне шара.
Напряженность поля шара, вычисленная с помощью теоремы Остроградского –Гаусса в нашем случае (r > R): 

\[ \begin{align}
  & E=\frac{q}{4\cdot \pi \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot {{r}^{2}}},(r>R)(4). \\
 & dW=wdV,dW=\frac{\varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot {{E}^{2}}}{2}dV,dW=\frac{{{q}^{2}}}{32\cdot {{\pi }^{2}}\cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot {{r}^{4}}}\cdot 4\cdot \pi \cdot {{r}^{2}}dr=\frac{{{q}^{2}}}{8\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot {{r}^{2}}}\cdot dr. \\
 & W=\int\limits_{R}^{\infty }{\frac{{{q}^{2}}}{8\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}\cdot \frac{1}{{{r}^{2}}}dr}=\frac{{{q}^{2}}}{8\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}\left. \cdot \frac{{{r}^{-2+1}}}{-2+1} \right|_{R}^{\infty }=\frac{{{q}^{2}}}{8\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}\cdot (\frac{1}{R}-\frac{1}{\infty })=\frac{{{q}^{2}}}{8\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot R}. \\
 & W=\frac{{{q}^{2}}}{8\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot R}. \\
\end{align}
 \]

3). Определим изменение полной энергии поля при делении заряженного шара на два равных заряженных шара.
Определим полную энергию поля шара до деления

\[ {{W}_{1}}=\frac{{{q}^{2}}}{40\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot R}+\frac{{{q}^{2}}}{8\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot R}=\frac{6\cdot {{q}^{2}}}{40\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot R}. \]

Шар разделили на два равных шара, определим радиус каждого шара

\[ {{V}_{1}}=2\cdot {{V}_{2}},\frac{4}{3}\cdot \pi \cdot {{R}^{3}}=2\cdot \frac{4}{3}\cdot \pi \cdot {{r}^{3}},{{r}^{3}}=\frac{{{R}^{3}}}{2},r=\frac{R}{\sqrt[3]{2}}. \]

Определим полную энергию поля двух шаров после деления и изменение энергии

\[
\begin{align}
  & {{W}_{2}}=2\cdot \frac{6\cdot {{q}^{2}}\cdot \sqrt[3]{2}}{40\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot R}=\frac{3\cdot {{q}^{2}}\cdot 2\cdot \sqrt[3]{2}}{20\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot R}.\Delta W={{W}_{2}}-{{W}_{1}}.\Delta W=\frac{3\cdot {{q}^{2}}\cdot 2\cdot \sqrt[3]{2}}{20\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot R}-\frac{3\cdot {{q}^{2}}}{20\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot R}, \\
 & \Delta W=\frac{3\cdot {{q}^{2}}}{20\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot R}\cdot (2\cdot \sqrt[3]{2}-1). \\
 & \Delta W=1,52\cdot \frac{3\cdot {{q}^{2}}}{20\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot R}. \\
\end{align}
 \]