При рассеянии рентгеновского излучения с длиной волны

[Антон Огурцевич]

105. При рассеянии рентгеновского излучения с длиной волны λ на угол θ кинетическая энергия отдачи равна W_e, угол между падающим фотоном и направлением движения электрона отдачи равен γ. Определить W_e (кэВ). Если λ = 3,2 пм; γ = 22°. Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение.
На основании закона сохранения энергии кинетическая энергия электрона отдачи равна разности между энергией E падающего фотона и энергии E₁ рассеянного фотона:

W_e = E – E₁ (1).

Энергия E падающего фотона равна

\[ E=\frac{h\cdot c}{\lambda }(2).E=\frac{6,63\cdot {{10}^{-34}}\cdot 3\cdot {{10}^{8}}}{3,2\cdot {{10}^{-12}}}=6,2\cdot {{10}^{-14}}. \]

Где: h – постоянная Планка, h = 6,63∙10^-34 Дж∙с, m – масса электрона, m = 9,1∙10^-31 кг, с – скорость света в вакууме, с = 3∙10⁸ м/с, е – модуль заряда электрона, е = 1,6 ∙10^-19 Кл.
Определим угол рассеяния фотона зная угол отдачи электрона (формулу принимаем без вывода)

\[ \begin{align}
  & tg\frac{\theta }{2}=ctg\gamma \cdot (1+\frac{E}{m\cdot {{c}^{2}}})(3).ctg22{}^\circ =0,577, \\
 & tg\frac{\theta }{2}=ctg22{}^\circ \cdot (1+\frac{6,2\cdot {{10}^{-14}}}{9,1\cdot {{10}^{-31}}\cdot {{(3\cdot {{10}^{8}})}^{2}}})=0,577,\frac{\theta }{2}=23,5,\theta =47{}^\circ . \\
\end{align} \]

Эффект Комптона объясняется тем, что фотон, как и любая частица, обладает импульсом и что акт рассеяния представляет собой упругое столкновение фотона с электроном. Воспользовавшись формулой Комптона определим изменение длины волны после взаимодействия, а также определим длину волны рассеянного фотона и его энергию

\[ \begin{align}
  & \Delta \lambda =\frac{h}{{{m}_{e}}\cdot c}\cdot \left( 1-\cos \theta  \right)(3),\Delta \lambda ={{\lambda }_{1}}-\lambda ,{{\lambda }_{1}}=\lambda +\Delta \lambda ,{{\lambda }_{1}}=\lambda +\frac{h}{{{m}_{e}}\cdot c}\cdot \left( 1-\cos \theta  \right)(3). \\
 & {{\lambda }_{1}}=3,2\cdot {{10}^{-12}}+\frac{6,63\cdot {{10}^{-34}}}{9,1\cdot {{10}^{-31}}\cdot 3\cdot {{10}^{8}}}\cdot (1-\cos 47{}^\circ )=3,977\cdot {{10}^{-12}}. \\
 & {{E}_{1}}=\frac{h\cdot c}{{{\lambda }_{1}}}(4).{{E}_{1}}=\frac{6,63\cdot {{10}^{-34}}\cdot 3\cdot {{10}^{8}}}{3,977\cdot {{10}^{-12}}}=5\cdot {{10}^{-14}}. \\
 & {{W}_{e}}=6,2\cdot {{10}^{-14}}-5\cdot {{10}^{-14}}=1,2\cdot {{10}^{-14}}.\frac{1,2\cdot {{10}^{-14}}}{1,6\cdot {{10}^{-19}}}=75\cdot {{10}^{3}}. \\
\end{align} \]

Ответ: 75 кэВ.