Две концентрические проводящие сферы несут одинаковый заряд

[Антон Огурцевич]

9. Две концентрические проводящие сферы несут одинаковый заряд q = 5∙10^-6 Кл. Сферы находятся в вакууме, а пространство между ними заполнено диэлектриком с проницаемостью ε = 5. Радиусы сфер R₁ = 1 м и R₂ = 2 м. Найти энергию электрического поля, созданного сферами во всём пространстве. Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение.
1). Напряженность внутри первой сферы равна нулю, энергия внутри первой сферы равна нулю.
W₁ = 0.
2). Определим энергию электростатического поля, заключённого между сферами
Объемную плотность энергии можно определить по формулам:

\[ w=\frac{dW}{dV}(1),w=\frac{1}{2}\cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot {{E}^{2}}(2). \]

ε – диэлектрическая проницаемость рассматриваемой области, ε₀ = 8,854∙10^-12 Ф/м – электрическая постоянная.
dV – элемент объема, элемент объема выразим через радиус элементарного сферического слоя.

dV = 4∙π∙r²∙dr      (3).

По теореме Гаусса поток вектора напряжённости электрического поля через любую произвольно выбранную замкнутую поверхность пропорционален заключённому внутри этой поверхности электрическому заряду:

\[ \begin{align}
  & \oint{E\cdot dS}=\frac{q}{\varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}.dS=4\cdot \pi \cdot {{r}^{2}},E=\frac{q}{4\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot {{r}^{2}}}(4). \\
 & dW=wdV,dW=\frac{\varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot {{E}^{2}}}{2}dV,dW=\frac{{{q}^{2}}}{32\cdot {{\pi }^{2}}\cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot {{r}^{4}}}\cdot 4\cdot \pi \cdot {{r}^{2}}dr, \\
 & dW=\frac{{{q}^{2}}}{8\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot {{r}^{2}}}\cdot dr(5). \\
\end{align} \]

\[ \begin{align}
  & {{W}_{2}}=\int\limits_{{{R}_{1}}}^{{{R}_{2}}}{\frac{{{q}^{2}}}{8\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}\cdot \frac{1}{{{r}^{2}}}dr}=\frac{{{q}^{2}}}{8\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}\left. \cdot \frac{{{r}^{-2+1}}}{-2+1} \right|_{{{R}_{1}}}^{{{R}_{2}}}=\frac{{{q}^{2}}}{8\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}\cdot (\frac{1}{{{R}_{1}}}-\frac{1}{{{R}_{2}}}). \\
 & {{W}_{2}}=\frac{{{(5\cdot {{10}^{-6}})}^{2}}}{8\cdot 3,14\cdot 5\cdot 8,85\cdot {{10}^{-12}}}\cdot (\frac{2-1}{2\cdot 1})=0,01125. \\
\end{align} \]

3). Определим энергию электростатического поля, заключённую в окружающем сферы пространстве

\[ \begin{align}
  & {{W}_{3}}=\int\limits_{{{R}_{2}}}^{\infty }{\frac{{{q}^{2}}}{8\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}\cdot \frac{1}{{{r}^{2}}}dr}=\frac{{{q}^{2}}}{8\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}\left. \cdot \frac{{{r}^{-2+1}}}{-2+1} \right|_{{{R}_{2}}}^{\infty }=\frac{{{q}^{2}}}{8\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}\cdot \frac{1}{{{R}_{2}}}. \\
 & {{W}_{3}}=\frac{{{(5\cdot {{10}^{-6}})}^{2}}}{8\cdot 3,14\cdot 1\cdot 8,85\cdot {{10}^{-12}}}\cdot \frac{1}{2}=0,05623. \\
\end{align} \]

Определим энергию электрического поля, созданного сферами во всём пространстве
W = W₁ + W₂ + W₃. W = 0 + 0,01125 + 0,05623 = 0,06748.
Ответ: 0,06748 Дж.