Объёмная плотность заряда равномерно заряженного бесконечно длинного цилиндра

[Антон Огурцевич]

2. Объёмная плотность заряда равномерно заряженного бесконечно длинного цилиндра радиусом R = 6 см, изготовленного из диэлектрика с проницаемостью ε = 4, равна ρ = 6,7∙10^-4 Кл/м³. Найти напряжённость E электрического поля в точках, находящихся на расстояниях r₁ = 1,5 см и r₂ = 10 см от оси цилиндра. Найти разность потенциалов между этими точками. Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение.
Определим напряженность электрического поля на расстоянии r₁ от оси цилиндра, точка находится внутри цилиндра (r₁ < R).
 Объёмную плотность энергии цилиндра определим по формуле:

\[ \rho =\frac{q}{V}(1),V=\pi \cdot {{R}^{2}}\cdot h(2),q=\rho \cdot \pi \cdot {{R}^{2}}\cdot h(3). \]

Напряженность поля равномерно заряженного бесконечно длинного цилиндра, вычисленная с помощью теоремы Остроградского –Гаусса определяется по формулам

\[ \begin{align}
  & \oint{E\cdot dS}=\frac{q}{\varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}.dS=2\cdot \pi \cdot r\cdot h,E=\frac{q}{2\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot r\cdot h},E=\frac{\rho \cdot \pi \cdot {{r}^{2}}\cdot h}{2\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot r\cdot h},E=\frac{\rho \cdot r}{2\cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}(4). \\
 & {{E}_{1}}=\frac{6,7\cdot {{10}^{-4}}\cdot 1,5\cdot {{10}^{-2}}}{2\cdot 4\cdot 8,85\cdot {{10}^{-12}}}=0,142\cdot {{10}^{6}}. \\
\end{align} \]

ε – диэлектрическая проницаемость рассматриваемой области, ε₀ = 8,854∙10^-12 Ф/м – электрическая постоянная.
Определим напряженность электрического поля на расстоянии r₂ от оси цилиндра, точка находится вне цилиндра (r₂ > R).

\[ \begin{align}
  & q=\rho \cdot \pi \cdot {{R}^{2}}\cdot h, \\
 & \oint{E\cdot dS}=\frac{q}{\varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}.dS=2\cdot \pi \cdot r\cdot h,E=\frac{q}{2\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot r\cdot h},E=\frac{\rho \cdot \pi \cdot {{R}^{2}}\cdot h}{2\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot r\cdot h},E=\frac{\rho \cdot {{R}^{2}}}{2\cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot r}(4). \\
 & {{E}_{2}}=\frac{6,7\cdot {{10}^{-4}}\cdot {{(6\cdot {{10}^{-2}})}^{2}}}{2\cdot 1\cdot 8,85\cdot {{10}^{-12}}\cdot 10\cdot {{10}^{-2}}}=1,36\cdot {{10}^{6}}. \\
\end{align}
 \]

Определим потенциал электрического поля на расстоянии r₁ от оси цилиндра, точка находится внутри цилиндра (r₁ < R). Потенциал на оси цилиндра равен 0.

\[  \begin{align}
  & {{\varphi }_{1}}=-\int\limits_{0}^{{{r}_{1}}}{Edr=-}\int\limits_{0}^{{{r}_{1}}}{\frac{\rho \cdot r}{2\cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}dr=-\frac{\rho }{2\cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}\cdot \left. \frac{{{r}^{1+1}}}{1+1} \right|_{0}^{{{r}_{1}}}}=-\frac{\rho }{2\cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}\cdot \frac{r_{1}^{2}}{2}. \\
 & {{\varphi }_{1}}=-\frac{6,7\cdot {{10}^{-4}}}{2\cdot 4\cdot 8,85\cdot {{10}^{-12}}}\cdot (\frac{1,5\cdot {{10}^{-2}}}{2})=-0,07\cdot {{10}^{6}}. \\
\end{align} \]

Потенциал на поверхности цилиндра равен

\[ {{\varphi }_{R}}=-\int\limits_{0}^{R}{Edr=-}\int\limits_{0}^{R}{\frac{\rho \cdot r}{2\cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}dr=-\frac{\rho }{2\cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}\cdot \left. \frac{{{r}^{1+1}}}{1+1} \right|_{0}^{R}}=-\frac{\rho \cdot {{R}^{2}}}{4\cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}. \]

Определим потенциал электрического поля на расстоянии r₂ от оси цилиндра, точка находится вне цилиндра (r₂ > R).

\[
\begin{align}
  & {{\varphi }_{2}}=\varphi (R)-\int\limits_{R}^{{{r}_{2}}}{Edr=}-\frac{\rho \cdot {{R}^{2}}}{4\cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}-\int\limits_{R}^{{{r}_{2}}}{\frac{\rho \cdot {{R}^{2}}}{2\cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot r}dr=-\frac{\rho \cdot {{R}^{2}}}{4\cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}-\frac{\rho \cdot {{R}^{2}}}{2\cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}}\cdot \ln \frac{{{r}_{2}}}{R}. \\
 & {{\varphi }_{2}}=-\frac{\rho \cdot {{R}^{2}}}{4\cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}\cdot (1+2\cdot \ln \frac{{{r}_{2}}}{R}). \\
 & {{\varphi }_{2}}=-\frac{6,7\cdot {{10}^{-4}}\cdot {{(6\cdot {{10}^{-2}})}^{2}}}{4\cdot 1\cdot 8,85\cdot {{10}^{-12}}}\cdot (1+2\cdot ln\frac{10\cdot {{10}^{-2}}}{6\cdot {{10}^{-2}}})=-0,138\cdot {{10}^{6}}. \\
\end{align}
 \]

Определим разность потенциалов между этими точками
φ₁ – φ₂ = -0,07∙10⁶ + 0,138∙10⁶ = 0,068∙10⁶ В.
Ответ: 0,142 МВ/м, 1,36 МВ/м, 0,068 МВ.