По катушке диаметром

[Антон Огурцевич]

6. По катушке диаметром 17 см и длиной 80 см протекает ток I= 100 А. Катушку отключили от источника. Найти заряд, прошедший по катушке за 1 мс после отключения. Сопротивление катушки 8 Ом. Число витков катушки равно 4000. Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение. Индуктивность катушки определим по формуле:

\[ L=\mu \cdot {{\mu }_{0}}\cdot {{N}^{2}}\cdot \frac{S}{l}\ \ \ (1). \]

Где: μ – относительная магнитная проницаемость, μ = 1, μ₀ – магнитная постоянная, μ₀ = 4∙π∙10^-7 Н/А², S – площадь поперечного сечения катушки.

\[ S=\frac{\pi \cdot {{D}^{2}}}{4}(2). \]

(2) подставим в (1) определим индуктивность катушки

\[ L=\mu \cdot {{\mu }_{0}}\cdot {{N}^{2}}\cdot \frac{\pi \cdot {{D}^{2}}}{l\cdot 4}\ \ \ (3).L=1\cdot 4\cdot 3,14\cdot {{10}^{-7}}\cdot {{(4\cdot {{10}^{3}})}^{2}}\cdot \frac{3,14\cdot {{(17\cdot {{10}^{-2}})}^{2}}}{0,8\cdot 4}=0,57. \]

Закон убывания силы тока в цепи имеет вид

\[ I(t)={{I}_{0}}\cdot {{e}^{-\frac{R\cdot t}{L}}}(4). \]

Определим заряд, прошедший по катушке за 1 мс после отключения

\[ \begin{align}
  & I=\frac{dq}{dt},dq=Idt,q=\int\limits_{0}^{t}{Idt,} \\
 & q=\int\limits_{0}^{t}{{{I}_{0}}\cdot {{e}^{-\frac{R\cdot t}{L}}}}dt={{I}_{0}}\cdot \int\limits_{0}^{t}{{{e}^{-\frac{R\cdot t}{L}}}}dt={{I}_{0}}\cdot (\left. -\frac{L\cdot {{e}^{-\frac{R\cdot t}{L}}}}{R} \right|_{0}^{t})={{I}_{0}}\cdot (-\frac{L\cdot {{e}^{-\frac{R\cdot t}{L}}}}{R}+\frac{L}{R})={{I}_{0}}\cdot \frac{L}{R}\cdot (1-{{e}^{-\frac{R\cdot t}{L}}}). \\
 & q=100\cdot \frac{0,57}{8}\cdot (1-{{e}^{-\frac{8\cdot {{10}^{-3}}}{0,57}}})=0,0984. \\
\end{align} \]

Ответ: 0,0984 Кл.