Определить индукцию магнитного поля

[Антон Огурцевич]

406. Определить индукцию магнитного поля в точке О, если проводник с током I имеет вид, показанный на рис.. Радиус изогнутой части проводника считать известным, сторона «квадрата» равна 2∙R. Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение.
Определим величину и направление магнитной индукции в точке О.
   Для решения задачи необходимы: μ₀ = 4∙π⋅10^-7 Гн/м − магнитная постоянная.  Рассмотрим четыре участка АВ, ВС, СD, DЕ.
Для определения направления вектора магнитной индукции для каждого участка в точке О применим правило правой руки: если мысленно обхватить проводник правой рукой, так чтобы большой палец показывал направление тока, то согнутые остальные пальцы покажут направление линий магнитной индукции в точке О. Вектор магнитной индукции направлен по касательной к линиям магнитной индукции в точке О. Покажем рисунок.
Магнитная индукция в точке О направлена от нас.
Магнитная индукция на участке ВС и ЕА равна нулю, так как точка О лежит на оси этого проводника. Применим принцип суперпозиции.

\[ \begin{align}
  & \vec{B}={{{\vec{B}}}_{AB}}+{{{\vec{B}}}_{BC}}+{{{\vec{B}}}_{CD}}+{{{\vec{B}}}_{DE}},\ {{B}_{BC}}=0,{{B}_{EA}}=0, \\
 & Ox:\ B={{B}_{AB}}+{{B}_{CD}}+{{B}_{DE}}\ \ (1). \\
\end{align} \]

Магнитную индукцию на участке АВ определим, как три четвертых индукции в центре кругового витка с током:

\[ {{B}_{AB}}=\frac{3}{4}\cdot \frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{2\cdot R}\ \ \ (2).
 \]

Определим модуль вектора магнитной индукции на участке СD и DЕ.
Индукция магнитного поля в произвольной точке О, созданного отрезком проводника с током конечной длины, определим используя закон Био-Савара -Лапласа.

\[ \begin{align}
  & dB=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{4\cdot \pi \cdot r}\cdot \sin \alpha d\alpha ,\  \\
 & B=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{4\cdot \pi \cdot r}\cdot \int\limits_{{{\alpha }_{1}}}^{{{\alpha }_{2}}}{\sin \alpha d\alpha =-\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{4\cdot \pi \cdot r}\cdot \left. cos\alpha  \right|_{{{\alpha }_{1}}}^{{{\alpha }_{2}}}=-\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{4\cdot \pi \cdot r}\cdot }(\cos {{\alpha }_{2}}-\cos {{\alpha }_{1}}), \\
 & B=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{4\cdot \pi \cdot r}\cdot (\cos {{\alpha }_{1}}-\cos {{\alpha }_{2}})\ \ \ (3). \\
\end{align} \]

Где: r - расстояние от т. О до проводника, r = 2∙R.
Углы α₁ и α₂, образованные радиус-вектором, проведенном в т. О соответственно из начала и конца проводника, с направлением тока.
Для участка СD α₂ = 3∙π/4, α₁ =  π/2. Для участка DЕ α₂ = π/2, α₁ = π/ 4.

\[ \begin{align}
  & {{B}_{CD}}=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{4\cdot \pi \cdot 2\cdot R}\cdot (\cos \frac{\pi }{2}-\cos \frac{3\cdot \pi }{4})\ ,\ {{B}_{CD}}=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{4\cdot \pi \cdot 2\cdot R}\cdot (0+\frac{\sqrt{2}}{2}),{{B}_{CD}}=\frac{\sqrt{2}\cdot {{\mu }_{0}}\cdot I}{8\cdot \pi \cdot 2\cdot R}(4), \\
 & {{B}_{DE}}=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{4\cdot \pi \cdot 2\cdot R}\cdot (\cos \frac{\pi }{4}-\cos \frac{\pi }{2})\ ,\ {{B}_{CD}}=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{4\cdot \pi \cdot 2\cdot R}\cdot (\frac{\sqrt{2}}{2}-0)={{B}_{DE}}=\frac{\sqrt{2}\cdot {{\mu }_{0}}\cdot I}{8\cdot \pi \cdot 2\cdot R}(5). \\
 & B=\frac{3}{4}\cdot \frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{2\cdot R}+\frac{\sqrt{2}\cdot {{\mu }_{0}}\cdot I}{8\cdot \pi \cdot 2\cdot R}+\frac{\sqrt{2}\cdot {{\mu }_{0}}\cdot I}{8\cdot \pi \cdot 2\cdot R},B=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{8\cdot \pi \cdot R}\cdot (3+\sqrt{2})(6). \\
\end{align} \]

Оплатите 3,0 руб.

[Антон Огурцевич]

Серёжа спасибо огромное за грамотные и исчерпывающие решения я оплатил эту задачку)