Кинематика из сборника Савченко Н.Е.

[alsak]

84. Какую скорость относительно дороги имеют верхние точки обода велосипедного колеса, если велосипедист едет со скоростью υ = 20 км/ч?

Решение. Рассмотрим вначале упрощенные модели:
1) колесо скользит по горизонтальной дороге со скоростью υ. Тогда все точки колеса будут двигаться в одну и ту же сторону со скоростью υ;
2) колесо вращается на одном месте с линейной скоростью υ. Тогда линейная скорость каждой точки будет направлена по касательной к колесу и численно равна υ.
У нас по условию сразу два случая: колесо движется поступательно по горизонтальной дороге со скоростью υ и одновременно вращается с линейной скоростью υ (при качении, без проскальзывания, линейная скорость колеса численно равна скорости поступательного движения) (рис. 1). Для нахождения скорости точек A, B, C и D относительно дороги воспользуемся законом сложения скоростей:
 

\[ \vec{\upsilon}_1 = \vec{\upsilon}_2 + \vec{\upsilon} _{1/2}, \]

где υ₁ — скорость этих точек A, B, C и D относительно дороги (неподвижной системы отсчета), υ₂ = υ — скорость велосипедиста (скорость системы), υ_1/2 — скорость этих точек относительно велосипедиста (относительно центра колеса), эта скорость для всех точек численно равна υ.
Запишем проекцию уравнения на горизонтальную ось 0X, направленную вправо, и решим его для точки С (υ_1/2Сх = υ):
 

\[ \vec{\upsilon}_{1C} = \vec{\upsilon} + \vec{\upsilon}_{1/2C} ,\; \;
\upsilon_{1Cx} = \upsilon + \upsilon_{1/2Cx} = 2\upsilon, \]

υ_1Cх = 40 км/ч.

Дополнение. Найдем скорость точки B относительно дороги. Закон сложения скоростей для этой точки будет иметь вид:
 

\[ \vec{\upsilon}_{1B} = \vec{\upsilon} + \vec{\upsilon}_{1/2B}. \]

Построим треугольник скоростей (рис. 2). Из рисунка видно, что
 
\[ \upsilon_{1B} = \sqrt{\upsilon^2 + \upsilon_{1/2B}^2} =\sqrt{\upsilon^2 + \upsilon^2} = \upsilon \sqrt{2}, \]

υ_1B = 28 км/ч.

[Vlad]

 :Dспасибо!

[Vlad]

Линейная скорость точки А равна
 

\[ \upsilon_A = \omega_A \cdot \left(l - r \right) =
2 \pi \cdot \nu \cdot \left(l - \frac{a_B}{\left(2 \pi \cdot \nu \right)^2} \right) =
2 \pi \cdot \nu \cdot l - \frac{a_B}{2 \pi \cdot \nu}, \]

υ_A = 5,0 м/с.

почему?
я решаю получается 2.74, у Вас 5, а в ответах 6 м/с

[Vlad]

81 задача
получил
y₁ = 76
y₂ = 106
x₁ = 60
x₂ = 106
построил прямоугольный треугольник
Посчитал по теореме Пифагора, получил 55м, а в ответах 46м!???

[Vlad]

83 задача
ω₁ = 2π/T₁, где T₁ = 3600с.
ω₂ = 2π/T₂, где Т₂ = 86400с.
ω₁/ω₂ = T₂/T₁
ω₁/ω₂ = 24
а в ответе 2!???

[alsak]

υ_A = 5,0 м/с.
почему?
я решаю получается 2.74, у Вас 5, а в ответах 6 м/с

Кто-то из нас не умеет нажимать кнопки калькулятора.
Подставляем числа

\[ 2 \cdot 3,14 \cdot 2 \cdot 0,5 - \frac{16,1}{2 \cdot 3,14 \cdot 2} = 4,998. \]

Ответ 6,15 получается, если ускорение взять равным 1,61 м/с². Возможно опечатка в условии.

[Vlad]

υ_A = 5,0 м/с.
почему?
я решаю получается 2.74, у Вас 5, а в ответах 6 м/с

Кто-то из нас не умеет нажимать кнопки калькулятора.
Подставляем числа

\[ 2 \cdot 3,14 \cdot 2 \cdot 0,5 - \frac{16,1}{2 \cdot 3,14 \cdot 2} = 4,998. \]

Ответ 6,15 получается, если ускорение взять равным 1,61 м/с². Возможно опечатка в условии

точно, а я скока не считал вместо дроби отнимал, спасибо!

[alsak]

83 задача
ω₁ = 2π/T₁, где T₁ = 3600с.
ω₂ = 2π/T₂, где Т₂ = 86400с.
ω₁/ω₂ = T₂/T₁
ω₁/ω₂ = 24
а в ответе 2!???

У вас ошибка: часовая стрелка совершает полный круг за 12 часов, а не за 1 час (это период минутной стрелки)).

83. Во сколько раз угловая скорость часовой стрелки больше угловой скорости суточного вращения Земли?

Решение. Период вращения часовой стрелки T₁ = 12 ч, период суточного вращения Земли T₂ = 1 сут = 24 ч. Угловая скорость ω тела и его период Т связаны следующим соотношением:

ω = 2π/Т.

Тогда отношение угловой скорости ω₁ часовой стрелки к угловой скорости ω₂ суточного вращения Земли будет равно:
\[\frac{\omega _{1} }{\omega _{2} } =\frac{2\pi }{T_{1} } \cdot \frac{T_{2} }{2\pi } =\frac{T_{2} }{T_{1} } ,\; \; \; \frac{\omega _{1} }{\omega _{2} } =\frac{24}{12} =2.\]

[Vlad]

понятно спасибо!

[alsak]

81 задача
получил
y₁ = 76
y₂ = 106
x₁ = 60
x₂ = 106
построил прямоугольный треугольник
Посчитал по теореме Пифагора, получил 55м, а в ответах 46м!???

81. Из одной точки одновременно брошены два тела под углами α₁ = 60° и α₂ = 45° к горизонту с начальными скоростями соответственно υ₁ = 40 м/с и υ₂ = 50 м/с. Траектории тел лежат в одной плоскости. На каком расстоянии друг от друга будут находиться тела через t₁ = 3 с? Сопротивление воздуха не учитывать.

Решение. Составляем уравнения движения (координат) для каждого тела и находим их координаты (x₁, y₁, x₂, y₂) через t₁. Тогда расстояние между точками найдем по формуле:
\[l=\sqrt{\left(x_{1} -x_{2} \right)^{2} +\left(y_{1} -y_{2} \right)^{2} } .\; \; \; \; (1)\]
За тело отсчета выберем точку бросания, ось 0Х направим вправо, ось 0Y — вверх (рис. 1). Запишем уравнения координаты на выбранные оси для первого тела:
\[x=x_{0} +\upsilon _{1x} \cdot t+\frac{g_{y} \cdot t^{2} }{2} ,\; \; \; y=y_{0} +\upsilon _{1y} \cdot t+\frac{g_{y} \cdot t^{2} }{2} ,\]
где x₀ = 0, υ_1х = υ₁⋅cos α₁, g_x = 0, y₀ = 0, υ_1y = υ₁⋅sin α₁, g_y = –g. Тогда координаты первого тела в момент времени t₁ будут равны:
\[x_{1} =\upsilon _{1} \cdot \cos \alpha _{1} \cdot t_{1} ,\; \; \; y_{1} =\upsilon _{1} \cdot \sin \alpha _{1} \cdot t_{1} -\frac{g\cdot t_{1}^{2} }{2} .\; \; \; \; (2)\]
Можно подставить числа и получить: x₁ = 60 м, y₁ = 59 м.

Аналогично находим координаты второго тела в момент времени t₁:
\[x_{2} =\upsilon _{2} \cdot \cos \alpha _{2} \cdot t_{1} ,\; \; \; y_{2} =\upsilon _{2} \cdot \sin \alpha _{2} \cdot t_{1} -\frac{g\cdot t_{1}^{2} }{2} .\; \; \; \; (3)\]
Можно так же подставить числа и получить: x₂ = 106 м, y₂ = 61 м.

Если подставить полученные значения координат в уравнение (1), то расстояние будет равно
l = 46 м.

Можно решить задачу в общем виде. Для этого подставим выражения (2) и (3) в уравнение (1):
\[\begin{array}{c} {l=\sqrt{\left(\upsilon _{1} \cdot \cos \alpha _{1} \cdot t_{1} -\upsilon _{2} \cdot \cos \alpha _{2} \cdot t_{1} \right)^{2} +\left(\upsilon _{1} \cdot \sin \alpha _{1} \cdot t_{1} -\frac{g\cdot t_{1}^{2} }{2} -\upsilon _{2} \cdot \sin \alpha _{2} \cdot t_{1} +\frac{g\cdot t_{1}^{2} }{2} \right)^{2} } =} \\ {=t_{1} \cdot \sqrt{\left(\upsilon _{1} \cdot \cos \alpha _{1} -\upsilon _{2} \cdot \cos \alpha _{2} \right)^{2} +\left(\upsilon _{1} \cdot \sin \alpha _{1} -\upsilon _{2} \cdot \sin \alpha _{2} \right)^{2} } =} \\ {=t_{1} \cdot \sqrt{\upsilon _{1}^{2} +\upsilon _{2}^{2} -2\upsilon _{1} \cdot \upsilon _{2} \cdot \left(\cos \alpha _{1} \cdot \cos \alpha _{2} +\sin \alpha _{1} \cdot \sin \alpha _{2} \right)} } \\ {=t_{1} \cdot \sqrt{\upsilon _{1}^{2} +\upsilon _{2}^{2} -2\upsilon _{1} \cdot \upsilon _{2} \cdot \cos \left(\alpha _{1} -\alpha _{2} \right)} ,} \end{array}\]
l = 46 м.