Кинематика из сборника Савченко Н.Е.

[Kivir]

48. Тело на верёвке поднимали от поверхности земли с ускорением a = 2 м/с² вертикально вверх. Через время t₁ = 5 с верёвка оборвалась. Рассчитать, сколько времени тело двигалось до земли после того, как оборвалась верёвка.
Решение: опишем движение тела с помощью кинематического уравнения зависимости координаты от времени:
\[ y=y_{0} +\upsilon _{0y} \cdot t+\frac{a_{y} \cdot t^{2}}{2}. \]
Ситуация первая – подъём тела с ускорением a, направленным вверх (проекция ускорения на ось y: a_y=a), начальная скорость тела υ₀ = 0, начальная координата тела в выбранной системе отсчёта y₀=0 (см. рис.):
\[ y=\frac{a\cdot t^{2}}{2}. \]
подставляя время движения t₁, определим высоту, на которой окажется тело в момент обрыва верёвки:
\[ h=\frac{a\cdot t_{1}^{2}}{2}. \]
Скорость тела в этот момент будет направлена вверх, и найдём её из уравнения зависимости проекции скорости тела от времени:
\[ \begin{array}{l} {\upsilon _{y} =\upsilon _{0y} +a_{y} \cdot t,} \\ {\upsilon _{y} =a\cdot t_{1}} \end{array} \]
Ситуация вторая – свободное падение тела с высоты h, имеющего начальную скорость υ, направленную вверх. Снова воспользуемся уравнением координаты, за начало отсчёта времени возьмем момент обрыва верёвки, имеем:

y₀ = h,   υ_0y=υ_y,  a_y = – g,

тогда:
\[ y=h+\upsilon _{y} \cdot t-\frac{g\cdot t^{2}}{2}. \]
В момент касания телом поверхности земли пройдёт время от начала отсчёта t₂ (искомое время), координата тела в выбранной системе отсчёта станет равной нулю (y = 0):
\[ \begin{array}{l} {0=h+\upsilon _{y} \cdot t_{2} -\frac{g\cdot t_{2}^{2} }{2} ,} \\ {\frac{g\cdot t_{2}^{2} }{2} -\upsilon _{y} \cdot t_{2} -h=0.} \end{array} \]
Мы получили квадратное уравнение. Решим его, подставив сразу полученные выражения для h и υ_y, например:
\[ \begin{array}{l} {\frac{g}{2} \cdot t_{2}^{2} -at_{1} \cdot t_{2} -\frac{a\cdot t_{1}^{2} }{2} =0,} \\ {D=\left(at_{1} \right)^{2} -4\cdot \frac{g}{2} \cdot \left(-\frac{a\cdot t_{1}^{2} }{2} \right)=a^{2} \cdot t_{1}^{2} +g\cdot a\cdot t_{1}^{2} ,} \\ {\sqrt{D} =a\cdot t_{1} \cdot \sqrt{1+\frac{g}{a}}.} \end{array} \]
тогда искомое время:
\[ t=\frac{a\cdot t_{1} \pm a\cdot t_{1} \cdot \sqrt{1+\frac{g}{a}}}{g}. \]
Отрицательный корень нас не интересует (в выбранной системе отсчёта время не  может быть отрицательным). Получаем ответ:
\[ t_{2} =\frac{a\cdot t_{1} }{g} \cdot \left(1+\sqrt{1+\frac{g}{a} } \right)=3,5c. \]
Ответ: 4 с (g = 9,81 м/с²)

[Kivir]

47. Два поезда прошли одинаковый путь за одно и то же время. Однако один поезд, трогаясь с места, прошёл путь равноускоренно с ускорением a = 3,0 см/с², а другой поезд половину пути шёл со скоростью υ₁ = 18 км/ч, а другую половину – со скоростью υ₂ = 54 км/ч. Найти путь, пройденный каждым поездом.
Решение: обозначим путь, пройденный каждым поездом – l. Первый поезд двигался равноускоренно из состояния покоя (υ₀ = 0), пройденный им путь:
\[ l=\upsilon _{0} \cdot t+\frac{a\cdot t^{2} }{2} =\frac{a\cdot t^{2}}{2} \].
здесь t – время движения поезда.
Пусть второй поезд затратил время t₁ на первой половине пути, и время t₂ на второй половине пути, при этом он двигался равномерно. Имеем:
\[ \frac{l}{2} =\upsilon _{1} \cdot t_{1} ,\frac{l}{2} =\upsilon _{2} \cdot t_{2}. \]
По условию задачи, время движения поездов одинаковое:

t = t₁+t₂.

Выразим время из уравнений пути, подставим и получим уравнения с одним неизвестным – l.
\[ \begin{array}{l} {t=\sqrt{\frac{2l}{a} } ,t_{1} =\frac{l}{2\cdot \upsilon _{1} } ,t_{2} =\frac{l}{2\cdot \upsilon _{2} } ,} \\ {\sqrt{\frac{2l}{a} } =\frac{l}{2\cdot \upsilon _{1} } +\frac{l}{2\cdot \upsilon _{2}}.} \end{array} \]
Решим полученное уравнение, например:
\[ \begin{array}{l} {\sqrt{\frac{2l}{a} } =\frac{l\cdot \left(\upsilon _{1} +\upsilon _{2} \right)}{2\cdot \upsilon _{1} \cdot \upsilon _{2} } ,\frac{2l}{a} =\frac{l^{2} \cdot \left(\upsilon _{1} +\upsilon _{2} \right)^{2} }{4\cdot \upsilon _{1}^{2} \cdot \upsilon _{2}^{2} } ,\frac{2}{a} =\frac{l\cdot \left(\upsilon _{1} +\upsilon _{2} \right)^{2} }{4\cdot \upsilon _{1}^{2} \cdot \upsilon _{2}^{2} } ,} \\ {l=\frac{8\cdot \upsilon _{1}^{2} \cdot \upsilon _{2}^{2} }{a\cdot \left(\upsilon _{1} +\upsilon _{2} \right)^{2}}.} \end{array} \]
Ответ: 3750 м = 3,8 км.

[Kivir]

46.Тело движется из состояния покоя равноускоренно. Определить, во сколько раз путь, пройденный этим телом за восьмую секунду, будет больше пути, пройденного за третью секунду.
Решение: получим, для начала, формулу для нахождения пути, проходимого телом за n-ю (энную) секунду от начала движения (υ₀ = 0) при равноускоренном движении (с ускорением a). Для этого воспользуемся уравнением пути, пройденного телом за t секунд:
\[ l=\upsilon _{0} \cdot t+\frac{a\cdot t^{2} }{2} =\frac{a\cdot t^{2}}{2}.  \]
Получаем путь за n (эн) секунд:
\[ l_{n} =\frac{a\cdot n^{2}}{2}. \]
Путь за (n – 1) секунд:     
\[ l_{n-1} =\frac{a\cdot \left(n-1\right)^{2}}{2}.  \]
Путь за n-ю (энную) секунду равен разности пути за n секунд и (n -1) секунд:
\[ \begin{array}{l} {S_{n} =l_{n} -l_{n-1} =\frac{a\cdot n^{2} }{2} -\frac{a\cdot \left(n-1\right)^{2} }{2} ,} \\ {S_{n} =\frac{a\cdot n^{2} }{2} -\frac{a\cdot \left(n^{2} -2n+1\right)^{2} }{2} ,} \\ {S_{n} =\frac{a}{2} \cdot \left(2n-1\right).} \end{array} \]
Искомое отношение:
\[ \frac{S_{8} }{S_{3} } =\frac{\frac{a}{2} \cdot \left(2\cdot 8-1\right)}{\frac{a}{2} \cdot \left(2\cdot 3-1\right)} =\frac{15}{5}=3. \]
Ответ: в 3 раза.

[djek]

86. Для шлифовки деталей на абразивном круге скорость υ крайних точек этого круга должна быть равной 94,2 м/с. Определить необходимую частоту вращения, если диаметр круга d = 0,3 м

Решение. При равномерном движении тела по окружности радиуса R линейная скорость
\[ \upsilon = 2\cdot \pi \cdot r\cdot \nu =2\cdot \pi \cdot \frac{d}{2}\cdot \nu =\pi \cdot d\cdot \nu \]
где ν – частота вращения, R – радиус круга, d – диаметр круга. Тогда необходимая частота вращения абразивного круга будет равна:
\[ \nu =\frac{\upsilon }{\pi \cdot d}, \]
ν = 100 Гц.

[djek]

85. Определить радиус маховика, если при его вращении точки на ободе имеют скорость υ₁ = 6,0 м/с, а точки, находящиеся на l = 15 см ближе к оси, - скорость υ₂ = 5,5 м/с.
Решение.
При равномерном движении линейная скорость υ₁ точек на ободе связана с угловой скоростью ω следующим соотношением

υ₁ = ω·R

R – радиус маховика.
Линейная скорость υ₂ точек, находящихся ближе на l к оси

υ₂ = ω·(R-l).

Угловые скорости точек в обоих случаях одинаковы. Значит можно записать следующее соотношение
\[ \begin{align}
  & \frac{{{\upsilon }_{1}}}{R}=\frac{{{\upsilon }_{2}}}{R-l} \\
 & R=\frac{{{\upsilon }_{1}}\cdot l}{{{\upsilon }_{1}}-{{\upsilon }_{2}}} \\
\end{align}
 \]
R = 1.8 м

[djek]

82. Даны кинематические уравнения движения тела: х = R·sinωt, у = R·cosωt. Найти его траекторию и ускорение (модуль и направление). Каков смысл постоянных R и ω?
Решение.
Возведем оба уравнения в квадрат и сложим

х² = R²·sin²ωt;
у² = R²·cos²ωt;
х² + у² = R²(sin²ωt + cos²ωt);

Учитывая, что

sin²ωt + cos²ωt = 1

Получим уравнение

х² + у² = R²

Это уравнение окружности радиуса R.
Модуль ускорения

а = ω²·R,

направлено по радиусу к центру окружности.
ω – угловая скорость.

[djek]

77. На какой высоте вектор скорости тела, брошенного под углом α₀ = 45° к горизонту с начальной скоростью υ₀ = 20 м/с, будет составлять с горизонтом угол α = 30°? Сопротивление воздуха не учитывать.
Решение.
Выберем систему координат с началом в точке бросания тела, ОY направим вертикально вверх, ось ОХ – горизонтально (см. рис). За начало отсчета времени примем момент бросания тела. В этой системе координат движение тела можно представить как результат сложения двух прямолинейных движений: равномерного движения вдоль оси OX со скоростью υ_0х и движения тела, брошенного вертикально вверх с начальной скоростью υ_0y вдоль оси OY.
В выбранной системе координат: х₀ = 0, у₀ = 0, υ_0х = υ₀·cosα₀, υ_0y = υ₀·sinα₀, а_х = 0, а_у = -g. Зависимости проекций скорости от времени выразятся уравнениями:

υ_х = υ₀·cosα₀, υ_y = υ₀·sinα₀ - g·t.

Отсюда определяем направление вектора скорости в момент времени t:
\[ tg\alpha =\frac{{{\upsilon }_{y}}}{{{\upsilon }_{x}}}=\frac{{{\upsilon }_{0}}\cdot \sin {{\alpha }_{0}}-g\cdot t}{{{\upsilon }_{0}}\cdot \cos {{\alpha }_{0}}} \]
Выразим из этого уравнения время t, которое нам понадобится для нахождения высоты.
\[ \begin{align}
  & t=\frac{{{\upsilon }_{0}}\cdot \left( \sin {{\alpha }_{0}}-tg\alpha \cdot \cos {{\alpha }_{0}} \right)}{g}, \\
 & h={{\upsilon }_{0y}}\cdot t-\frac{g\cdot {{t}^{2}}}{2}={{\upsilon }_{0}}\cdot \sin {{\alpha }_{0}}\cdot t-\frac{g\cdot {{t}^{2}}}{2} \\
\end{align}
 \]
Таким образом, высоту определим подставив полученное выражение для времени в формулу для h:
\[ \begin{align}
  & h=\left( \frac{{{\upsilon }_{0}}\cdot \left( \sin {{\alpha }_{0}}-tg\alpha \cdot \cos {{\alpha }_{0}} \right)}{g} \right)\cdot {{\upsilon }_{0}}\cdot \sin {{\alpha }_{0}}-\frac{g}{2}\cdot \frac{\upsilon _{0}^{2}\cdot {{\left( \sin {{\alpha }_{0}}-tg\alpha \cdot \cos {{\alpha }_{0}} \right)}^{2}}}{{{g}^{2}}}, \\
 & h=\frac{\upsilon _{0}^{2}\cdot \left( {{\sin }^{2}}{{\alpha }_{0}}-tg\alpha \cdot \cos {{\alpha }_{0}}\cdot \sin {{\alpha }_{0}} \right)}{g}-\frac{\upsilon _{0}^{2}\cdot \left( {{\sin }^{2}}{{\alpha }_{0}}+t{{g}^{2}}\alpha \cdot {{\cos }^{2}}{{\alpha }_{0}}-2\cdot \sin {{\alpha }_{0}}\cdot tg\alpha \cdot \cos {{\alpha }_{0}} \right)}{2\cdot g}, \\
 & h=\frac{\upsilon _{0}^{2}\cdot \left( 2\cdot {{\sin }^{2}}{{\alpha }_{0}}-2\cdot tg\alpha \cdot \cos {{\alpha }_{0}}\cdot \sin {{\alpha }_{0}}-{{\sin }^{2}}{{\alpha }_{0}}-t{{g}^{2}}\alpha \cdot {{\cos }^{2}}{{\alpha }_{0}}+2\cdot \sin {{\alpha }_{0}}\cdot tg\alpha \cdot \cos {{\alpha }_{0}} \right)}{2\cdot g}, \\
 & h=\frac{\upsilon _{0}^{2}}{2\cdot g}\cdot \left( {{\sin }^{2}}{{\alpha }_{0}}-t{{g}^{2}}\alpha \cdot {{\cos }^{2}}{{\alpha }_{0}} \right)=\frac{\upsilon _{0}^{2}}{2\cdot g}\cdot \left( t{{g}^{2}}{{\alpha }_{0}}-t{{g}^{2}}\alpha  \right)\cdot {{\cos }^{2}}{{\alpha }_{0}} \\
\end{align}
 \]

[djek]

79. При разрушении вращающейся части машины осколки могут отлететь под углом α = 60° к горизонту со скоростью υ = 3 м/с. Какой минимальной высоты надо поставить ограждение на расстоянии l = 0,5 м от машины,
чтобы осколки не вылетели за пределы ограждения? Сопротивление воздуха не учитывать.
Решение.
Для решения данной задачи необходимо получить уравнение траектории осколков. В момент времени, когда координата х будет равна l, y будет равна искомой высоте h.
Выберем систему координат с началом в точке вылета осколков, ОY направим вертикально вверх, ось ОХ – горизонтально (см. рис). За начало отсчета времени примем момент бросания тела. Тело движется с постоянным ускорением а = g, поэтому его движение описывается кинематическими уравнениями:
\[ \begin{align}
  & x={{x}_{0}}+{{\upsilon }_{0x}}\cdot t+\frac{{{a}_{x}}\cdot {{t}^{2}}}{2} \\
 & y={{y}_{0}}+{{\upsilon }_{0y}}\cdot t+\frac{{{a}_{y}}\cdot {{t}^{2}}}{2} \\
\end{align}
 \]
При выбранной системе координат х₀ = 0, у₀ = 0, υ_0х = υ₀·cosα, υ_0y = υ₀·sinα, а_х = 0, а_у = -g. Поэтому через t с после вылета осколков их координаты будут такие
\[ \begin{align}
  & x=l={{\upsilon }_{0}}\cdot t\cdot \cos \alpha , \\
 & y=h={{\upsilon }_{0}}\cdot t\cdot \sin \alpha -\frac{g\cdot {{t}^{2}}}{2} \\
\end{align}
 \]
Из первого уравнения найдем время и поставим его во второе, получим
\[ \begin{align}
  & t=\frac{l}{{{\upsilon }_{0}}\cdot \cos \alpha }, \\
 & h=l\cdot tg\alpha -\frac{g\cdot {{l}^{2}}}{2\cdot \upsilon _{0}^{2}\cdot {{\cos }^{2}}\alpha } \\
\end{align}
 \]
Ответ. h=0.3 м

[alsak]

32. Поезд длиной l = 120 м движется по мосту равномерно со скоростью υ = 18 км/ч. За какое время поезд пройдет мост, если длина моста L = 480 м?
Решение. Длина поезда l соизмерима с длиной моста L, поэтому поезд нельзя представлять в виде материальной точки. Отсчет времени начнем с момента прохождения поездом точки А (рис. 1). Будем считать, что поезд прошел мост, когда хвост поезда достигнет точки В.
При прямолинейном равномерном движении

υ = Δr/t,

где Δr = АС = l + L. Тогда

t = (l + L)/υ,

t = 120 с.

[alsak]

33. Автомобиль и велосипедист равномерно движутся навстречу друг другу со скоростями соответственно υ₁ = 10 м/с и υ₂ = 5 м/с. Расстояние между ними в начальный момент времени l = 300 м. Графически и аналитически определить место и время встречи автомобиля и велосипедиста. Изменится ли место встречи, если их скорости будут в 2 раза большими?
Решение. Аналитический координатный способ. Составим уравнение движения каждого тела. Для этого за точку 0 примем начальное положение автомобиля, ось 0Х направим в сторону движения автомобиля (рис. 1). Тела движутся равномерно, поэтому (первое тело — это автомобиль, который движется вдоль оси 0Х, второе — велосипедист, движется в противоположную сторону оси 0Х):

x₁ = υ₁∙t,   (1)

x₂ = l – υ₂∙t.   (2)

Пусть t₁ — время встречи тел. Тогда

x₁ = x₂,   υ₁∙t₁ = l – υ₂∙t₁,

t₁ = l/(υ₁ + υ₂),

t₁ = 20 с. Место встречи (расстояние от начального положения автомобиля)

x₁(t₁) = 200 м.

Графический способ. Используя уравнения (1) и (2), построим график x(t) для этих тел (рис. 2). Так как это линейные функции, то для построения каждого графика достаточно 2 точки:

Автомобиль

	1	2
t, c	0	30
x, м	0	300

Велосипедист

	1	2
t, c	0	30
x, м	0	150

Графики пересекаются в точке C, координаты которой и определяют место (x_С = 200 м) и время встречи (t_С = 20 c).

Если скорость увеличить в 2 раза, время встречи уменьшится в 2 раза, но место встречи не изменится.