Кинематика из сборника Савченко Н.Е.

[djek]

75. Тело, брошенное под некоторым углом к горизонтальной плоскости, падает на нее через τ = 2 с. Какой наибольшей высоты оно достигало? Сопротивление воздуха не учитывать.
Решение
Выберем систему координат с началом в точке бросания тела, ОY направим вертикально вверх, ось ОХ – горизонтально (см. рис). За начало отсчета времени примем момент бросания тела. Движение тела можно представить как результат сложения двух прямолинейных движений: равномерного движения вдоль оси OX со скоростью υ_0х и движения тела, брошенного вертикально вверх с начальной скоростью υ_0y вдоль оси OY. Это движение описывается кинематическими уравнениями:
\[ \begin{align}
  & x={{x}_{0}}+{{\upsilon }_{0x}}\cdot t+\frac{{{a}_{x}}\cdot {{t}^{2}}}{2},y={{y}_{0}}+{{\upsilon }_{0y}}\cdot t+\frac{{{a}_{y}}\cdot {{t}^{2}}}{2} \\
 & {{\upsilon }_{x}}={{\upsilon }_{0x}}+{{a}_{x}}\cdot t,{{\upsilon }_{y}}={{\upsilon }_{0y}}+{{a}_{y}}\cdot t \\
\end{align}
 \]
При выбранной системе координат х₀ = 0, у₀ = 0, υ_0х = υ₀·cosα₀, υ_0y = υ₀·sinα₀, а_х = 0, а_у = -g. Поэтому через t с после бросания тела координаты и зависимость проекций скорости от времени выразятся уравнениями:
\[ \begin{align}
  & x={{\upsilon }_{0}}\cdot t\cdot \cos {{\alpha }_{0}},(1) \\
 & y={{\upsilon }_{0}}\cdot t\cdot \sin {{\alpha }_{0}}-\frac{g\cdot {{t}^{2}}}{2}(2) \\
\end{align}
 \]

υ_х = υ₀·cosα₀, υ_y = υ₀·sinα₀ - g·t.

В момент падения тела y = 0, t = τ. На основании уравнения (2) имеем
\[ \tau =\frac{2\cdot {{\upsilon }_{0}}\cdot \sin {{\alpha }_{0}}}{g} \]
Время подъема до максимальной высоты t₁ найдем из уравнения для υ_y, учитывая, что в верхней точке траектории υ_y = 0

0= υ₀·sinα₀ - g·t₁

Откуда
\[ {{t}_{1}}=\frac{{{\upsilon }_{0}}\cdot \sin {{\alpha }_{0}}}{g} \]
Сравнивая время полета и время подъема на максимальную высоту, приходим к выводу, что
\[ {{t}_{1}}=\frac{\tau }{2}=\frac{{{\upsilon }_{0}}\cdot \sin {{\alpha }_{0}}}{g}(3) \]
Максимальную высоту подъема определим из уравнения (2), подставив в него t₁ вместо t и выразив υ₀·sinα₀ из уравнения (3)
\[ \begin{align}
  & {{\upsilon }_{0}}\cdot \sin {{\alpha }_{0}}=\frac{\tau \cdot g}{2}, \\
 & {{h}_{\max }}={{\upsilon }_{0}}\cdot \sin {{\alpha }_{0}}\cdot {{t}_{1}}-\frac{g\cdot t_{1}^{2}}{2}=\frac{\tau \cdot g}{2}\cdot \frac{\tau }{2}-\frac{g\cdot {{\left( \frac{\tau }{2} \right)}^{2}}}{2}=\frac{{{\tau }^{2}}\cdot g}{8} \\
\end{align}
 \]
h_max = 5 м

[alsak]

34. Расстояние между двумя лодочными станциями моторная лодка проходит по течению реки за t₁ = 10 мин, а против течения — за t₂ = 30 мин. За какое время это расстояние проплывет по течению упавший в воду спасательный круг?
Решение. Пусть υ_m — собственная скорость моторной лодки (или скорость лодки относительно воды υ_m = υ_m/t), υ_t — скорость течения, υ₁ — скоростью лодки относительно берега при движении по течению, υ₂ — скоростью лодки относительно берега при движении против течения, АВ = s — расстояние между лодочными станциями. Во всех случаях ось 0Х будем направлять вдоль скорости лодки υ_m.
Спасательный круг плывет со скоростью, равной скорости течения υ_t, поэтому расстояние между станциями он проплывет за время

t₃ = s/υ_t.   (1)

1 случай: лодка идет по течению (рис. 1). Запишем закон сложения скоростей в следующем виде:
\[\vec{\upsilon }_{1} =\vec{\upsilon }_{t} +\vec{\upsilon }_{m/t} ,\]

0Х: υ₁ = υ_t + υ_m.

В этом случае лодка совершает перемещение Δr₁ = s (Δr_1x > 0, т.к. лодка движется вдоль 0Х). Время движения лодки
\[ t_{1} =\frac{\Delta r_{1} }{\upsilon _{1} } =\frac{s}{\upsilon _{t} +\upsilon _{m} }. \;\;\; (2)\]

2 случай: лодка идет против течения (рис. 2). Запишем закон сложения скоростей в следующем виде (υ_2x > 0, т.к. по условию лодка относительно берега движется против течения):
\[\vec{\upsilon }_{2} =\vec{\upsilon }_{t} +\vec{\upsilon }_{m/t} ,\]

0Х: υ₂ = –υ_t + υ_m.

И в этом случае лодка совершает перемещение Δr₂ = s (Δr_2x > 0, т.к. лодка движется вдоль 0Х). Время движения лодки
\[ t_{2} =\frac{\Delta r_{2} }{\upsilon _{2} } =\frac{s}{\upsilon _{m} -\upsilon _{t} } . \;\;\; (3)\]

Решим систему уравнений (1)-(3). Например,
\[\begin{array}{c} {\frac{s}{t_{1} } =\upsilon _{m} +\upsilon _{t} ,\; \; \frac{s}{t_{2} } =\upsilon _{m} -\upsilon _{t} ,\; \; \; \frac{s}{t_{1} } -\frac{s}{t_{2} } =\upsilon _{m} +\upsilon _{t} -\left(\upsilon _{m} -\upsilon _{t} \right)=2\upsilon _{t} ,} \\ {\upsilon _{t} =\frac{s}{2} \cdot \left(\frac{1}{t_{1} } -\frac{1}{t_{2} } \right)=\frac{s}{2} \cdot \frac{t_{2} -t_{1} }{t_{1} \cdot t_{2} } ,\; \; \; t_{3} =\; s\cdot \frac{2}{s} \cdot \frac{t_{1} \cdot t_{2} }{t_{2} -t_{1} } =\; 2\cdot \frac{t_{1} \cdot t_{2} }{t_{2} -t_{1} } ,} \end{array}\]
t₃ = 30 мин.

[alsak]

35. Расстояние s между пунктами А и В равно 80 км. Из пункта А в направлении АВ выезжает со скоростью υ₁ = 50 км/ч мотоциклист. Одновременно из пункта В выезжает в том же направлении автомобиль со скоростью υ₂ = 30 км/ч. Через какое время τ и на каком расстоянии s₁ от точки А мотоциклист догонит автомобиль? Решить задачу алгебраическим и графическим способами.
Решение. Аналитический координатный способ. Составим уравнение движения каждого тела. Для этого за точку 0 примем положение точки А, ось 0Х направим в сторону движения мотоциклиста (рис. 1). Тела движутся равномерно, поэтому (первое тело — это мотоциклист, который движется вдоль оси 0Х, второе — автомобиль, так же движется вдоль оси 0Х):

x₁ = υ₁∙t,   (1)

x₂ = l + υ₂∙t,   (2)

где l = AB = 80 км.
Пусть t₁ — время встречи тел. Тогда

x₁ = x₂,   υ₁∙t₁ = l + υ₂∙t₁,

\[t_{1} =\frac{l}{\upsilon _{1} -\upsilon _{2} } ,\]
t₁ = 4 ч. Место встречи (расстояние от начального положения автомобиля)

x₁(t₁) = 200 км.

Графический способ. Используя уравнения (1) и (2), построим график x(t) для этих тел (рис. 2). Так как это линейные функции, то для построения каждого графика достаточно 2 точки:

Мотоциклист

	1	2
t, ч	0	8
x, км	0	400

Автомобиль

	1	2
t, ч	0	8
x, км	80	320

Графики пересекаются в точке C, координаты которой и определяют место (x_С = 200 км) и время встречи (t_С = 4 ч).

[Kivir]

45. Тело за время t = 6 с переместилось на s = 270 см. Первые три секунды тело двигалось с постоянным ускорением, а последние три – равномерно. Определить начальную скорость тела, если за пятую секунду его перемещение s₅ = 40 см.
Решение: перемещение s разобьем на две части: s₁ – при равноускоренном движении и s₂  - при равномерном. Т.к. при равномерном движении тело за пятую секунду переместилось на s₅, то и за четвёртую на s₅ и шестую тоже на s₅  (начиная с четвёртой секунды, тело двигалось равномерно). Тогда путь, пройденный при равномерном движении:

s₂ = 3∙s₅

При этом скорость тела при равномерном движении равна по модулю перемещению за 5 секунду:
\[ \upsilon =\frac{s_{5} }{t_{5} } =\frac{s_{5} }{1} =\left|s_{5} \right|. \]
На первом участке движения (движение с постоянным ускорением) путь (перемещение) определим через среднюю скорость: начальная скорость υ₀, конечная скорость – υ, тогда средняя скорость
\[ \upsilon _{cp} =\frac{\upsilon _{0} +\upsilon}{2}.  \]
(скорость изменяется линейно, поэтому средняя скорость равна средней арифметической). Тогда перемещение при равноускоренном движении (учтём, что тело двигалось 3 секунды):
\[ s_{1} =\frac{\upsilon _{0} +\upsilon }{2} \cdot 3=\frac{3\cdot \left(\upsilon _{0} +s_{5} \right)}{2}. \]
Перемещение s за время t:
\[ \begin{array}{l} {s=s_{1} +s_{2} =3\cdot s_{5} +\frac{3\cdot \left(\upsilon _{0} +s_{5} \right)}{2} ,} \\ {s=\frac{6\cdot s_{5} +3\cdot \upsilon _{0} +3\cdot s_{5} }{2} ,} \\ {\upsilon _{0} =\frac{2\cdot s-9\cdot s_{5} }{3} =\frac{4\cdot s-18\cdot s_{5}}{6}.} \end{array} \]
Учтём, что t = 6 с, и получим ответ:
\[ \upsilon _{0} =\frac{4\cdot s-18\cdot s_{5}}{t}. \]
Ответ: 60 см/с = 0,6 м/с.

[Kivir]

44. Двигаясь равноускоренно без начальной скорости, тело, пройдя некоторый путь, приобрело скорость υ = 14 м/с. Чему была равна скорость тела, когда оно прошло половину этого пути?
Решение: воспользуемся связью начальной скорости тела, конечной скорости, ускорения и пройденного пути при равноускоренном движении:
\[ \upsilon ^{2} -\upsilon _{0}^{2} =2\cdot a\cdot l. \]
Начальная скорость равна нулю, пройдя путь l скорость тела υ, пройдя половину пути: l/2 – скорость тела υ₁. Получаем систему уравнений:
\[ \begin{array}{l} {\upsilon ^{2} =2\cdot a\cdot l,\upsilon _{1}^{2} =2\cdot a\cdot \frac{l}{2} ,\upsilon _{1}^{2} =\frac{\upsilon ^{2} }{2} ,} \\ {\upsilon _{1} =\frac{\upsilon }{\sqrt{2}}.} \end{array} \]
Ответ: 10 м/с.

[Kivir]

43. Тело, двигаясь равноускоренно, за первые t₁ = 5,0 с своего движения прошло путь l₁= 100 м, а за первые t₂ = 10 с – l₂ = 300 м. Определить начальную скорость тела.
Решение: воспользуемся формулой для расчёта пути  при равноускоренном, прямолинейном движении:
\[ l=\upsilon _{0} \cdot t+\frac{a\cdot t^{2}}{2}. \]
Составим систему уравнений на основании данных задачи:
\[ \begin{array}{l} {l_{1} =\upsilon _{0} \cdot t_{1} +\frac{a\cdot t_{1}^{2} }{2} ,} \\ {l_{2} =\upsilon _{0} \cdot t_{2} +\frac{a\cdot t_{2}^{2} }{2} .} \end{array} \]
Решим систему, например:
\[ \begin{array}{l} {l_{1} -\upsilon _{0} \cdot t_{1} =\frac{a\cdot t_{1}^{2} }{2} ,l_{2} -\upsilon _{0} \cdot t_{2} =\frac{a\cdot t_{2}^{2} }{2} ,} \\ {\frac{l_{1} -\upsilon _{0} \cdot t_{1} }{l_{2} -\upsilon _{0} \cdot t_{2} } =\frac{t_{1}^{2} }{t_{2}^{2} } ,l_{1} \cdot t_{2}^{2} -\upsilon _{0} \cdot t_{1} \cdot t_{2}^{2} =l_{2} \cdot t_{1}^{2} -\upsilon _{0} \cdot t_{2} \cdot t_{1}^{2},} \end{array} \]
\[ \upsilon _{0} =\frac{l_{2} \cdot t_{1}^{2} -l_{1} \cdot t_{2}^{2} }{t_{2} \cdot t_{1}^{2} -t_{1} \cdot t_{2}^{2}}. \]
Ответ: 10 м/с.

[Kivir]

42. Двигатели ракеты, запущенной вертикально вверх с поверхности земли, работали в течение времени t = 1,0 мин и сообщали ракете постоянное ускорение a =3g. Какой максимальной высоты достигла ракета? Ускорение свободного падения считать постоянным и равным 9,8 м/с².
Решение: первые 60 секунд ракета разгонялась. Запишем уравнение движения ракеты в выбранной системе координат, при  t₁< t:
\[ y=y_{0} +\upsilon _{0y} \cdot t_{1} +\frac{a_{y} \cdot t_{1}^{2}}{2}. \]
Здесь проекция ускорения на ось y: a_y=a=3g, начальная скорость тела υ₀ = 0, начальная координата тела в выбранной системе отсчёта y₀=0 (см. рис.):
\[ y=\frac{a\cdot t_{1}^{2}}{2}. \]
подставляя время движения t, определим высоту, на которой окажется на которой окажется ракета:
\[ h=\frac{3g\cdot t^{2}}{2}.  \]
Скорость ракеты в этот момент будет направлена вверх, найдём её из уравнения зависимости проекции скорости тела от времени:
\[ \begin{array}{l} {\upsilon _{y} =\upsilon _{0y} +a_{y} \cdot t_{1} ,} \\ {\upsilon =a\cdot t=3g\cdot t.} \end{array} \]
Далее ракета свободно падает с высоты h, имея начальную скорость υ, направленную вверх. Снова воспользуемся уравнением координаты и скорости, записав их для времени t₂ > t:

y₀ = h,   υ_0y=υ,  a_y = – g,

тогда:
\[ \begin{array}{l} {y=h+\upsilon \cdot t_{2} -\frac{g\cdot t_{2}^{2} }{2} ,} \\ {\upsilon _{y} =\upsilon -g\cdot t_{2}.} \end{array} \]
В верхней точке траектории ракета буден находится на максимальной высоте, её скорость будет равна нулю. Т.е при t₂ = t_n имеем: y = h_max,υ_y = 0.
\[ \begin{array}{l} {h_{\max } =h+\upsilon \cdot t_{n} -\frac{g\cdot t_{n}^{2} }{2} ,} \\ {0=\upsilon -g\cdot t_{n}.} \end{array} \]
Выразим время подъёма из второго уравнения, подставим в первое и учтём полученные выражения для h и υ:
\[ \begin{array}{l} {t_{n} =\frac{\upsilon }{g} =\frac{3g\cdot t}{g} =3t,} \\ {h_{\max } =\frac{3g\cdot t^{2} }{2} +3g\cdot t\cdot 3t-\frac{g\cdot \left(3t\right)^{2} }{2} ,} \\ {h_{\max } =6g\cdot t^{2}.} \end{array} \]
Ответ: 2,1∙10⁵ м = 2,1∙10² км.

[Kivir]

41. Свободно падающее тело прошло последние l = 63,7 м за τ = 1,0 с. С какой высоты падало тело?
Решение: систему отсчёта выберем следующим образом: ось y направим вертикально вверх, начало отсчёта на поверхности земли. Запишем уравнение движения тела в выбранной системе координат:
\[ \begin{array}{l} {y=y_{0} +\upsilon _{0y} \cdot t+\frac{a_{y} \cdot t^{2} }{2} ,} \\ {y=h-\frac{g\cdot t^{2}}{2}.} \end{array} \]
Здесь проекция ускорения на ось y: a_y = ¬- g, начальная скорость тела υ₀ = 0, начальная координата тела в выбранной системе отсчёта y₀=h – искомой высоте. Путь в момент касания земли пройдёт время падения: t = t_n, y = 0:
\[ 0=h-\frac{g\cdot t_{n}^{2}}{2} ,h=\frac{g\cdot t_{n}^{2}}{2}. \]
В момент времени t = t_n - τ, координата тела y = l:
\[ l=h-\frac{g\cdot \left(t_{n} -\tau \right)^{2}}{2}. \]
Подставим h  и определим время падения:
\[ \begin{array}{l} {l=\frac{g\cdot t_{n}^{2} }{2} -\frac{g\cdot \left(t_{n} -\tau \right)^{2} }{2} =\frac{g\cdot t_{n}^{2} }{2} -\frac{g\cdot t_{n}^{2} }{2} +g\cdot t_{n} \cdot \tau -\frac{g\cdot \tau ^{2} }{2} ,} \\ {t_{n} =\frac{l}{g\cdot \tau } +\frac{\tau }{2}.} \end{array} \]
Тогда получаем искомую высоту:
\[ h=\frac{g}{2} \cdot \left(\frac{l}{g\cdot \tau } +\frac{\tau }{2} \right)^{2}. \]
Ответ: 240 м (g = 9,8 м/с²)

[Kivir]

40. Двигаясь равноускоренно, материальная точка в первые два равных последовательных промежутка времени по τ = 4,0 с каждый проходит пути l₁= 20 м и l₂ = 30 м. Определить ускорение и начальную скорость точки.
Решение: систему отсчёта выберем следующим образом: ось x направим в направлении движения тела, за начало отсчёта возьмем начальное положение тела. В этом случае координата тела в любой момент времени равна пройденному пути. Запишем уравнение движения тела в выбранной системе координат (считаем, что начальная скорость тела и ускорение имеют направление, совпадающее с  положительным направлением оси координат):
\[ \begin{array}{l} {x=x_{0} +\upsilon _{0x} \cdot t+\frac{a_{x} \cdot t^{2} }{2} ,} \\ {l=\upsilon _{0} \cdot t+\frac{a\cdot t^{2}}{2}.} \end{array} \]
Составим систему уравнений, воспользовавшись данными задачи:
\[ \begin{array}{l} {l_{1} =\upsilon _{0} \cdot \tau +\frac{a\cdot \tau ^{2} }{2} ,} \\ {l_{1} +l_{2} =\upsilon _{0} \cdot 2\tau +\frac{a\cdot \left(2\tau \right)^{2} }{2}.} \end{array} \]
Сделаем преобразования:
\[ \begin{array}{l} {2l_{1} =2\upsilon _{0} \cdot \tau +a\cdot \tau ^{2} ,} \\ {l_{1} +l_{2} =2\upsilon _{0} \cdot \tau +2a\cdot \tau ^{2} .} \end{array} \]
Вычитая из первого уравнения второе, найдём ускорение.
Помножив первое уравнение на два, и отняв от него второе, найдём начальную скорость.
\[ \begin{array}{l} {a=\frac{l_{2} -l_{1} }{\tau ^{2} } ,} \\ {\upsilon _{0} =\frac{3l_{1} -l_{2}}{2\cdot \tau}.} \end{array} \]
Ответ: 0,63 м/с²;   3,8 м/с.

[djek]

76. Камень брошен под углом α₀ = 30° к горизонту со скоростью υ₀= 10 м/с. Через сколько времени камень будет на высоте h = 1 м? Сопротивление воздуха не учитывать.
Решение.
Выберем систему координат с началом в точке бросания тела, ОY направим вертикально вверх, ось ОХ – горизонтально (см. рис). За начало отсчета времени примем момент бросания тела. Движение тела можно представить как результат сложения двух прямолинейных движений: равномерного движения вдоль оси OX со скоростью υ_0х и движения тела, брошенного вертикально вверх с начальной скоростью υ_0y вдоль оси OY. Это движение описывается кинематическими уравнениями:
\[ x={{x}_{0}}+{{\upsilon }_{0x}}\cdot t+\frac{{{a}_{x}}\cdot {{t}^{2}}}{2},y={{y}_{0}}+{{\upsilon }_{0y}}\cdot t+\frac{{{a}_{y}}\cdot {{t}^{2}}}{2} \]
При выбранной системе координат х₀ = 0, у₀ = 0, υ_0х = υ₀·cosα₀, υ_0y = υ₀·sinα₀, а_х = 0, а_у = -g. Поэтому через t с после бросания пройденный путь и высота подъема:
\[ \begin{align}
  & l={{\upsilon }_{0}}\cdot t\cdot \cos {{\alpha }_{0}},(1) \\
 & h={{\upsilon }_{0}}\cdot t\cdot \sin {{\alpha }_{0}}-\frac{g\cdot {{t}^{2}}}{2}(2) \\
\end{align}
 \]
где l – дальность полета, h – высота подъема. Решая уравнение (2) относительно времени t получим квадратное  уравнение:

g·t² - 2·υ₀·sinα₀·t + 2·h = 0

Дискриминант

d = 4· υ²₀·sin²α₀ – 8 g·h = 4·(υ²₀·sin²α₀ – 2 g·h)

Тогда
\[ \begin{align}
  & {{t}_{1}}=\frac{2\cdot {{\upsilon }_{0}}\cdot \sin {{\alpha }_{0}}-\sqrt{4\cdot \left( \upsilon _{0}^{2}\cdot {{\sin }^{2}}{{\alpha }_{0}}-2\cdot g\cdot h \right)}}{2\cdot g}=\frac{{{\upsilon }_{0}}\cdot \sin {{\alpha }_{0}}-\sqrt{\left( \upsilon _{0}^{2}\cdot {{\sin }^{2}}{{\alpha }_{0}}-2\cdot g\cdot h \right)}}{g}=0,3c \\
 & {{t}_{2}}=\frac{{{\upsilon }_{0}}\cdot \sin {{\alpha }_{0}}+\sqrt{\left( \upsilon _{0}^{2}\cdot {{\sin }^{2}}{{\alpha }_{0}}-2\cdot g\cdot h \right)}}{g}=0,8c \\
\end{align}
 \]
Таким образом, тело побывает на высоте 1 м дважды; при подъеме и при падении