80. Шарик вертикально падает с высоты h = 2 м на наклонную плоскость и абсолютно упруго отражается под углом, равным углу падения. На каком расстоянии от места падения он снова ударится о ту же плоскость? Угол наклона плоскости к горизонту α = 30°. Сопротивление воздуха не учитывать.
Решение.
Выберем систему координат с началом в точке отражения тела, ОY направим перпендикулярно к наклонной плоскости, ось ОХ – по наклонной плоскости (см. рис). За начало отсчета времени примем момент отражения тела. Движение тела можно представить как результат сложения двух прямолинейных движений: равноускоренного движения вдоль оси OX с ускорением a
x и движения тела, брошенного вертикально вверх с начальной скоростью υ
0y вдоль оси OY. Это движение описывается кинематическими уравнениями:
\[ x={{x}_{0}}+{{\upsilon }_{0x}}\cdot t+\frac{{{a}_{x}}\cdot {{t}^{2}}}{2},y={{y}_{0}}+{{\upsilon }_{0y}}\cdot t+\frac{{{a}_{y}}\cdot {{t}^{2}}}{2} \]
При выбранной системе координат х
0 = 0, у
0 = 0, υ
0х = υ
0·cos(90-α), υ
0y = υ
0·sin(90-α), а
х = g·sinα, а
у = - g·cosα. Поэтому через t с после бросания пройденный путь:
\[ l={{\upsilon }_{0}}\cdot \cos (90-\alpha )\cdot t+\frac{g\cdot \sin \alpha \cdot {{t}^{2}}}{2},(1) \]
Время полета t найдем из уравнения скорости вдоль оси OY, учитывая, что в верхней точке траектории υ
y = 0. И тот факт, что t = 2· t
1, где t
1 – время, через которое тело окажется в верхней точке траектории. Тогда:
υy = υ0·sin(90-α) - g·cosα·t,
υ0·sin(90-α) - g·cosα·t1 = 0
\[ {{t}_{1}}=\frac{{{\upsilon }_{0}}}{g},t=\frac{2\cdot {{\upsilon }_{0}}}{g} \]
Подставим время полета в уравнение (1), учитывая, что cos(90-α) = sinα
\[ l={{\upsilon }_{0}}\cdot \sin \alpha \cdot \frac{2\cdot {{\upsilon }_{0}}}{g}+\frac{g\cdot \sin \alpha \cdot {{\left( \frac{2\cdot {{\upsilon }_{0}}}{g} \right)}^{2}}}{2}=\frac{4\cdot \upsilon _{0}^{2}\cdot \sin \alpha }{g} \]
Начальная скорость υ
0 равна по модулю конечной скорости вертикального падения тела с высоты h,поскольку удар абсолютно упругий. Тогда
υ20 = 2·g·h
l = 8·h·sinα = 8 м