Кинематика из сборника Савченко Н.Е.

[Kivir]

62. Из одной точки одновременно бросают с одинаковыми скоростями υ₀  два тела: одно вертикально вверх, второе горизонтально. Найти расстояние между телами через промежуток времени τ после бросания. Сопротивление воздуха не учитывать.
Решение:
Систему отсчёта выберем следующим образом: начало отсчёта в точке бросания, ось x – горизонтально, осьy – вертикально вверх (направление осей совпадает с направлением начальных скоростей тел). Запишем уравнение движения тел (зависимость координаты тела от времени):
\[ \begin{array}{l} {x=x_{0} +\upsilon _{0x} \cdot t+\frac{a_{x} \cdot t^{2} }{2} ,} \\ {y=y_{0} +\upsilon _{0y} \cdot t+\frac{a_{y} \cdot t^{2}}{2}.} \end{array} \]
Здесь проекция ускорения на ось y: a_y= – g, проекция ускорения на ось x: a_x= 0, проекция начальной скорости первого тела на ось y: υ_0y = υ₀, на ось _x:  υ_0x = 0, проекция начальной скорости второго тела на ось y: υ_0y = 0, на ось x:  υ_0x = υ₀, начальные координаты тел в выбранной системе отсчёта равны нулю. Пусть в  момент времени τ координата первого тела – y₁, координаты второго тела – x₂ и y₂. (см. рис.). Тогда:
\[ \begin{array}{l} {y_{1} =\upsilon _{0} \cdot \tau -\frac{g\cdot \tau ^{2} }{2} ,} \\ {y_{2} =-\frac{g\cdot \tau ^{2} }{2} ,} \\ {x_{2} =\upsilon _{0} \cdot \tau.} \end{array} \]
Расстояние между телами l – это гипотенуза прямоугольного треугольника, с катетами длиной (y₁ + y₂) и x₂. Воспользуемся теоремой Пифагора:
\[ \begin{array}{l} {l=\sqrt{\left(y_{1} +y_{2} \right)^{2} +x_{2}^{2} } =\sqrt{\left(\upsilon _{0} \cdot \tau -\frac{g\cdot \tau ^{2} }{2} +\frac{g\cdot \tau ^{2} }{2} \right)^{2} +\left(\upsilon _{0} \cdot \tau \right)^{2}},} \\ {l=\sqrt{2} \cdot \upsilon _{0} \cdot \tau.} \end{array} \]
Способ второй: систему отсчёта выберем нестандартно: свяжем систему отсчёта с первым телом. Т.е. получаем, что система отсчёта движется относительно земли с ускорением свободного падения и (что важно ) первое тело в этой системе покоится, а второе движется равномерно в горизонтальном направлении и равномерно в вертикальном направлении вниз (представьте, что Вы сидите на первом теле и смотрите на второе). За время τ второе тело удалится от первого (от начала отсчёта) на расстояние, равное   υ₀∙τ   по горизонтали и на такое же расстояние (υ₀∙τ) по вертикали. Тогда расстояние от второго тела до первого легко определить по теореме Пифагора:
\[ \begin{array}{l} {l=\sqrt{\left(\upsilon _{0} \cdot \tau \right)^{2} +\left(\upsilon _{0} \cdot \tau \right)^{2}},} \\ {l=\sqrt{2} \cdot \upsilon _{0} \cdot \tau.} \end{array} \]

[djek]

67. Тело, брошенное вертикально вверх, вернулось в точку бросания через τ = 10 с. Какова начальная скорость тела? На какую максимальную высоту оно поднималось? Сопротивление воздуха не учитывать.
Решение.
Координатную ось OY направим вертикально вверх, начало координат О совместим с точкой бросания (см. рис.).  Время будем отсчитывать с момента бросания. Тогда координата тела и проекция его скорости на ось OY в момент времени t равны соответственно:
\[ \begin{align}
  & y={{\upsilon }_{0}}\cdot t-\frac{g\cdot {{t}^{2}}}{2},(1) \\
 & \upsilon ={{\upsilon }_{0}}-g\cdot t(2) \\
\end{align}
 \]
Для точки, находящейся на высоте h, y = h.
Определим время t₁ подъема, используя уравнение (2) с учетом того, что в верхней точке траектории скорость равна нулю:
\[ \begin{align}
  & 0={{\upsilon }_{0}}-g\cdot {{t}_{1}}(3) \\
 & {{\upsilon }_{0}}=g\cdot {{t}_{1}}(4) \\
 & {{t}_{1}}=\frac{{{\upsilon }_{0}}}{g}(5) \\
\end{align}
 \]
Оценим, как время t₁ подъема связано со временем всего полета τ. В момент возвращения тела в точку бросания его координата равна нулю. С учетом уравнения (1)
\[ 0={{\upsilon }_{0}}\cdot \tau -\frac{g\cdot {{\tau }^{2}}}{2},\tau =\frac{2\cdot {{\upsilon }_{0}}}{g} \]
Таким образом, время подъема к верхней точке траектории равно половине всего времени полета. Учитывая это, воспользуемся уравнением (4) для нахождения начальной скорости
\[ \begin{align}
  & {{t}_{1}}=\frac{\tau }{2} \\
 & {{\upsilon }_{0}}=\frac{g\cdot \tau }{2} \\
\end{align}
 \]
Для нахождения максимальной высоты подъема подставим в уравнение (1) время подъема t₁ и полученное выражение для начальной скорости υ₀
\[ H={{\upsilon }_{0}}\cdot {{t}_{1}}-\frac{g\cdot t_{1}^{2}}{2}=\frac{\upsilon _{0}^{2}}{2\cdot g}=\frac{g\cdot {{\tau }^{2}}}{8} \]
υ₀ = 50 м/с; Н = 1,3·102 м.

[djek]

66. Определить начальную скорость, с которой тело брошено вертикально вверх, если точку, находящуюся на высоте h = 60 м, оно проходило 2 раза с промежутком времени τ = 4,0 с. Сопротивление воздуха не учитывать.
Решение
Координатную ось OY направим вертикально вверх, начало координат О совместим с точкой бросания (см. рис.).  Время будем отсчитывать с момента бросания. Тогда координата тела в момент времени t равна:
\[ y={{\upsilon }_{0}}\cdot t-\frac{g\cdot {{t}^{2}}}{2}(1) \]
Тело побывает на высоте h первый раз в момент времени t₁, двигаясь вверх и второй раз в момент времени t₂, двигаясь вниз. Определим эти моменты времени, решая уравнение (1) относительно t и учитывая, что в выбранной системе координат для точки, находящейся на высоте h, y = h. Например:

g·t² - 2·υ₀·t + 2·h = 0
d = 4· υ²₀· – 8 g·h = 4·(υ²₀ – 2 g·h)

\[ \begin{align}
  & {{t}_{1}}=\frac{2\cdot {{\upsilon }_{0}}-\sqrt{4\cdot \left( \upsilon _{0}^{2}-2\cdot g\cdot h \right)}}{2\cdot g}=\frac{{{\upsilon }_{0}}-\sqrt{\upsilon _{0}^{2}-2\cdot g\cdot h}}{g}; \\
 & {{t}_{2}}=\frac{{{\upsilon }_{0}}+\sqrt{\upsilon _{0}^{2}-2\cdot g\cdot h}}{g} \\
\end{align}
 \]
По условию задачи
\[ \tau ={{t}_{2}}-{{t}_{1}}=\frac{2\cdot \sqrt{\upsilon _{0}^{2}-2\cdot g\cdot h}}{g} \]
Решим это уравнение относительно υ₀
\[ {{\upsilon }_{0}}=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{g\cdot \left( {{\tau }^{2}}\cdot g+8\cdot h \right)} \]
υ₀ = 40 м/с

[djek]

65. С неподвижного относительно земли вертолета сбросили без начальной скорости тело. Спустя t₁ = 1,0 с было сброшено тоже без начальной скорости второе тело. Определить расстояние между телами через t₂ = 2,0 с от начала падения первого тела. Сопротивление воздуха не учитывать.
Решение.
Координатную ось OY направим вертикально вниз. Начало координат О свяжем с неподвижным относительно земли вертолетом. Время будем отсчитывать с момента падения первого тела. Тогда в выбранной системе координат,  координата первого тела  у₂ = l₂, координата второго тела у₁ = l₁
Искомое расстояние:

l = l₂ - l₁

\[ \begin{align}
  & {{l}_{2}}=\frac{g\cdot t_{2}^{2}}{2};{{l}_{1}}=\frac{g\cdot t_{1}^{2}}{2}; \\
 & l={{l}_{2}}-{{l}_{1}}=\frac{g\cdot t_{2}^{2}}{2}-\frac{g\cdot t_{1}^{2}}{2}=\frac{g}{2}\cdot \left( t_{2}^{2}-t_{1}^{2} \right) \\
\end{align}
 \]
l = 15 м

[djek]

64. Скорость тела, брошенного вертикально вниз с некоторой высоты, через t₁ = 1,0 с увеличилась по сравнению с начальной в n₁ = 6,0 раз. Во сколько раз увеличится его скорость через t₂ = 2,0 с после броска? Сопротивление воздуха не учитывать.
Решение.
Координатную ось OY направим вертикально вниз. Начало координат О свяжем с точкой бросания тела. Время будем отсчитывать от момента броска тела. Тогда в выбранной системе координат проекция его скорости на ось OY в момент времени t равны соответственно:
\[ \begin{align}
  & {{\upsilon }_{1}}={{\upsilon }_{0}}+g\cdot {{t}_{1}};{{\upsilon }_{2}}={{\upsilon }_{0}}+g\cdot {{t}_{2}} \\
 & {{n}_{1}}\cdot {{\upsilon }_{0}}={{\upsilon }_{0}}+g\cdot {{t}_{1}};{{n}_{2}}\cdot {{\upsilon }_{0}}={{\upsilon }_{0}}+g\cdot {{t}_{2}} \\
 & \left( {{n}_{1}}-1 \right)\cdot {{\upsilon }_{0}}=g\cdot {{t}_{1}} \\
 & \left( {{n}_{2}}-1 \right)\cdot {{\upsilon }_{0}}=g\cdot {{t}_{2}} \\
\end{align}
 \]
Разделим уравнения и выразим n₂
\[ \begin{align}
  & \frac{{{n}_{1}}-1}{{{n}_{2}}-1}=\frac{{{t}_{1}}}{{{t}_{2}}} \\
 & {{n}_{2}}=1+\frac{{{t}_{2}}\cdot \left( {{n}_{1}}-1 \right)}{{{t}_{1}}} \\
\end{align}
 \]
n₂ = 11

[djek]

63. С крыши дома высотой H = 20 м вертикально вверх брошен камень со скоростью υ₀ = 10 м/с. Определить скорость камня на высоте h = 10 м над землей и скорость его в момент удара о землю. Сопротивление воздуха не
учитывать.
Решение.
Начало координат совместим с точкой О, ось OY направим вертикально верх (см. рис.). Время будем отсчитывать с момента броска камня. Тогда координата тела и проекция его скорости на ось OY в момент времени t равны соответственно:
\[ y=H+{{\upsilon }_{0}}\cdot t-\frac{g\cdot {{t}^{2}}}{2}(1);\upsilon ={{\upsilon }_{0}}-g\cdot t(2) \]
В момент времени, когда тело окажется на высоте h, его скорость будет равна υ₁, а координата y = h. Найдем это время, решая квадратное уравнение (1) относительно t. Например:

g·t² - 2·υ₀·t - 2·(Н – h) = 0
d = 4· υ²₀· + 8 g·(Н – h) = 4·(υ²₀ – 2 g·(Н - h)

\[ \begin{align}
  & {{t}_{1}}=\frac{2\cdot {{\upsilon }_{0}}+2\cdot \sqrt{\upsilon _{0}^{2}+2\cdot g\cdot \left( H-h \right)}}{2\cdot g}=\frac{{{\upsilon }_{0}}+\sqrt{\upsilon _{0}^{2}+2\cdot g\cdot \left( H-h \right)}}{g}; \\
 & {{t}_{2}}=\frac{{{\upsilon }_{0}}-\sqrt{\upsilon _{0}^{2}+2\cdot g\cdot \left( H-h \right)}}{g} \\
\end{align}
 \]
Физический смысл имеет только корень t₁ (t₂<0). Подставим значение t₁ в формулу (2) и найдем скорость υ₁ камня на высоте h.
\[ {{\upsilon }_{1}}={{\upsilon }_{0}}-g\cdot \frac{\left( {{\upsilon }_{0}}+\sqrt{\upsilon _{0}^{2}+2\cdot g\cdot \left( H-h \right)} \right)}{g}=\sqrt{\upsilon _{0}^{2}+2\cdot g\cdot \left( H-h \right)} \]
Аналогично, учитывая, что в момент падения камня его координата у = 0, найдем время падения и скорость в момент падения:
\[ \begin{align}
  & t=\frac{{{\upsilon }_{0}}+\sqrt{\upsilon _{0}^{2}+2\cdot g\cdot H}}{g}; \\
 & {{\upsilon }_{2}}=\sqrt{\upsilon _{0}^{2}+2\cdot g\cdot H} \\
\end{align}
 \]
υ₁ = 17 м/с; υ₂ = 22 м/с

[alsak]

54. На стержень длиной l = 0,9 м надета бусинка, которая может перемещаться по стержню без трения. В начальный момент бусинка находилась на середине стержня. Стержень начал двигаться поступательно в горизонтальной плоскости с ускорением а = 0,6 м/с² в направлении, составляющем со стержнем угол α = 60°. Через сколько времени бусинка упадет со стержня?

Решение. Пусть стержень движется так, как показано на рис. 1. Перейти в систему отсчета, связанную со стержнем (неинерциальная система отсчета). Если бы не мешал стержень, то бусинка в этой системе должна была бы двигаться в противоположную сторону с таким же по величине ускорением a_b (рис. 2). Тогда по стержню бусинка будет двигаться с ускорением a_x = a_b∙cos α.
С таким ускорением бусинке надо пройти расстояние s = l/2 (бусинка находилась на середине стержня), начальная скорость υ₀ = 0. Тогда
\[\Delta r_{x} =\frac{l}{2} =\upsilon _{0x} \cdot t+\frac{a_{x} \cdot t^{2} }{2} =\frac{a\cdot \cos \alpha \cdot t^{2} }{2} ,\; \; \; t=\sqrt{\frac{l}{a\cdot \cos \alpha } } ,\]
t = 1,7 c.

[alsak]

57. Пользуясь графиком зависимости проекции скорости материальной точки от времени (рис. 1), построить график зависимости ее координаты от времени. В начальный момент координата точки равна нулю.

Решение. Графики будем строить по точкам. Запишем уравнение координаты в общем виде:
\[x=x_{0} +\upsilon _{0x} \cdot t+\frac{a_{x} \cdot t^{2} }{2} .\]
Материальная точка изменяет свое ускорение два раза: в момент времени t₁ = 2 c и в t₂ = 3 c, т.е. точка за все время движения имеет три разных уравнения координат. Определим их для каждого участка с постоянным ускорением.

Участок 1: 0 c ≤ t ≤ 2 c. Уравнение координаты в общем виде для этого участка:
\[x_{1} =x_{01} +\upsilon _{01x} \cdot t_{1} +\frac{a_{1x} \cdot t_{1}^{2} }{2} ,\]
где x₀₁ = 0 (по условию), υ_01x = 2 м/с (находим из графика значение скорости в момент времени t₁ = 0), t₁ = t (т.к. отсчет времени на этом участке начинается с 0 с). Ускорение a_1x найдем так:
\[a_{1x} =\frac{\Delta \upsilon _{x} }{\Delta t} =\frac{\upsilon _{2x} -\upsilon _{1x} }{t_{2} -t_{1} } ,\]
где пусть t₂ = 2 с, t₁ = 1 с, тогда из графика находим значения υ_2х = –2 м/с, υ_1х = 0 м/с и получаем a_1x = – 2 м/с². В итоге получаем следующее уравнение координаты
\[x_{1} =2t+\frac{-2t^{2} }{2} =2t-t^{2} .\; \; \; (1)\]
График функции (1) — это парабола, для построения которой найдем пять точек (см. таблицу 1).

Таблица 1

х1, м	0,0	0,75	1,0	0,75	0,0
t, с	0,0	0,5	1,0	1,5	2,0

График представлен на рисунке 2 (линия АВ).


Участок 2: 2 c ≤ t ≤ 3 c. Уравнение координаты в общем виде для этого участка:
\[x_{2} =x_{02} +\upsilon _{02x} \cdot t_{2} +\frac{a_{2x} \cdot t_{2}^{2} }{2} ,\]
где x₀₂ = x₁(2 c) = 0 (начальная координата второго участка должна совпадать с конечной координатой первого участка), υ_02x = –2 м/с (находим из графика значение скорости в момент времени t₂ = 2 с), t₂ = t – 2 (т.к. отсчет времени на втором участке начинается на 2 с после отсчета времени на первом). Ускорение a_2x = 0, т.к. скорость точки не изменяется. В итоге получаем следующее уравнение координаты
\[x_{2} =-2\cdot \left(t-2\right)=4-2t.\; \; \; (2)\]
График функции (2) — это прямая линия, для построения которой потребуется две точки (см. таблицу 2).

Таблица 2

х2, м	0,0	–2,0
t, с	2,0	3,0

График представлен на рисунке 2 (линия ВС).


Участок 3: 3 c ≤ t ≤ 4 c. Уравнение координаты в общем виде для этого участка:
\[x_{3} =x_{03} +\upsilon _{03x} \cdot t_{3} +\frac{a_{3x} \cdot t_{3}^{2} }{2} ,\]
где x₀₃ = x₂(3 c) = –2 м (начальная координата третьего участка должна совпадать с конечной координатой второго участка), υ_03x = –2 м/с (находим из графика значение скорости в момент времени t₃ = 3 с), t₃ = t – 3 (т.к. отсчет времени на третьем участке начинается на 3 с после отсчета времени на первом). Ускорение a_3x найдем так:
\[a_{3x} =\frac{\Delta \upsilon _{x} }{\Delta t} =\frac{\upsilon _{2x} -\upsilon _{1x} }{t_{2} -t_{1} } ,\]
где пусть t₂ = 4 с, t₁ = 3 с, тогда из графика находим значения υ_2х = 0 м/с, υ_1х = –2 м/с и получаем a_3x = 2 м/с². В итоге получаем следующее уравнение координаты
\[x_{3} =-2-2\cdot \left(t-3\right)+\frac{2\cdot \left(t-3\right)^{2} }{2} =-2-2t+6+t^{2} -6t+9=t^{2} -8t+13.\; \; \; (3)\]
График функции (3) — это парабола, для построения которой найдем пять точек (см. таблицу 3).

Таблица 3

х3, м	–2,0	–2,4	–2,8	–2,9	–3,0
t, с	3,0	3,25	3,5	3,75	4,0

График представлен на рисунке 2 (линия СD).

[alsak]

58. Материальная точка может перемещаться прямолинейно вдоль оси ОХ. По известному графику зависимости проекции υx скорости данной точки (рис. 1) построить графики зависимости проекции а_х ускорения и координаты x точки от времени, считая, что x = 0 при t = 0.

Решение. Так как на графике нет значений величин, то графики будем строить приблизительно (схематично). Запишем уравнение координаты в общем виде:
\[x=x_{0} +\upsilon _{0x} \cdot t+\frac{a_{x} \cdot t^{2} }{2} .\]
Материальная точка изменяет свое ускорение один раз: в момент времени t₂, т.е. точка за все время движения имеет два разных уравнения координат. Определим их для каждого участка с постоянным ускорением.

Участок 1: 0 ≤ t ≤ t₂. Уравнение координаты в общем виде для этого участка:

\[ {{x}_{1}}={{x}_{01}}+{{\upsilon }_{01x}}\cdot {{t}_{1}}+\frac{{{a}_{1x}}\cdot t_{1}^{2}}{2}, \]

где x₀₁ = 0 (по условию), υ_01x = υ₀₁ > 0 (находим из графика значение скорости в момент времени t = 0), t₁ = t (т.к. отсчет времени на этом участке начинается с 0 с). Ускорение

a_1x = –a₁   (1)

(a_1x < 0), т.к. скорость уменьшается. В итоге получаем следующее уравнение координаты

\[ {{x}_{1}}={{\upsilon }_{01}}\cdot t-\frac{{{a}_{1}}\cdot {{t}^{2}}}{2}.\ \ \ (2) \]

График функции (1) — это прямая перпендикулярная оси a_x и проходящая через точку a_x = –a₁. На рисунке 2 — это линия АВ.
График функции (2) — это парабола ветвями вниз, вершина которой в точке Е. На рисунке 3 — это линия АВ.

Участок 2: t₂ ≤ t. Уравнение координаты в общем виде для этого участка:

\[ {{x}_{2}}={{x}_{02}}+{{\upsilon }_{02x}}\cdot {{t}^{'}}_{2}+\frac{{{a}_{2x}}\cdot t_{2}^{'2}}{2}, \]

где x₀₂ = x₂₁ = x₁(t₂) (начальная координата второго участка должна совпадать с конечной координатой первого участка), υ_02x = –υ₀₂ (υ_02x < 0) (находим из графика значение скорости в момент времени t = t₂), t´₂ = t – t₂ (т.к. отсчет времени на втором участке начинается на t₂ после отсчета времени на первом). Ускорение

a_2x = 0,   (3)

т.к. скорость точки не изменяется. В итоге получаем следующее уравнение координаты

x₂ = x₂₁ – υ₀₂∙(t – t₂).   (4)

График функции (3) — это прямая перпендикулярная оси a_x и проходящая через точку a_x = 0. На рисунке 2 — это линия CE.
График функции (4) — это прямая, начинающаяся в точке B и наклоненная вниз (т.к. υ_02x < 0). На рисунке 3 — это линия ВС. Так как скорости в точках В и С равные, то прямая ВС является продолжением касательной к параболе в точке В.

[alsak]

60. На рис. 1 приведен график скорости тела, движущегося прямолинейно. Построить график его перемещения и ускорения, если треугольники ОАВ, BCD и DEK равны.

Решение. Так как на графике нет значений величин, то графики будем строить приблизительно (схематично). Запишем уравнение проекции перемещения в общем виде:
\[\Delta r_{x} =\upsilon _{0x} \cdot t+\frac{a_{x} \cdot t^{2} }{2} .\]
Тело изменяет свое ускорение три раза: в точках А, С и Е, т.е. оно за все время движения имеет четыре разных уравнения проекций перемещений. Определим их для каждого участка с постоянным ускорением.
Так как угол наклона графика к оси времени везде один и то же, то ускорения на всех участках численно равны. Обозначим значения этих ускорений буквой а₁.
Будут равны (это можно примерно определить из графика) и промежутки времени прохождения участков 0А, АВ, ВС, CD, DE и EK. Обозначим этот промежуток время буквой t₁.
Скорости в точках A, C и E так же часленно равны (это следует из равенства ускорений и времени). Обозначим значения этих скоростей буквой υ₁.

Участок 0А: Уравнение проекции перемещения в общем виде для этого участка:
\[\Delta r_{ax} =\upsilon _{0ax} \cdot t_{a} +\frac{a_{ax} \cdot t_{a}^{2} }{2} ,\]
где υ_0ax = 0 (находим из графика значение скорости в момент времени t = 0), t_a = t (т.к. отсчет времени на этом участке начинается с 0 с). Ускорение

a_ax = a₁   (1)

(a_ax > 0), т.к. скорость увеличивается. В итоге получаем следующее уравнение проекции перемещения
\[\Delta r_{ax} =\frac{a_{1} \cdot t^{2} }{2} .\; \; \; (2)\]
График функции (1) — это прямая перпендикулярная оси a_x и проходящая через точку a_x = a₁. На рисунке 2 — это линия A₁А.
График функции (2) — это парабола ветвями вверх, вершина которой в точке 0. На рисунке 3 — это линия 0А.

Участок АС: Уравнение проекции перемещения в общем виде для этого участка (не забываем, что до этого тело уже совершило перемещение Δr_a = Δr_ax(t₁)):
\[\Delta r_{cx} =\Delta r_{a} +\upsilon _{0cx} \cdot t_{c} +\frac{a_{cx} \cdot t_{c}^{2} }{2} ,\]
где Δr_a = a₁∙t₁²/2, υ_0cx = υ₁ = a₁∙t₁, t_c = t – t₁ (т.к. отсчет времени на этом участке начинается на t₁ позже начального). Ускорение

a_cx = –a₁   (3)

(a_cx < 0), т.к. скорость уменьшается. В итоге получаем следующее уравнение проекции перемещения
\[\begin{array}{c} {\Delta r_{cx} =\frac{a_{1} \cdot t_{1}^{2} }{2} +\upsilon _{1} \cdot t_{b} -\frac{a_{1} \cdot t_{b}^{2} }{2} =\frac{a_{1} \cdot t_{1}^{2} }{2} +a_{1} \cdot t_{1} \cdot \left(t-t_{1} \right)-\frac{a_{1} \cdot \left(t-t_{1} \right)^{2} }{2} =} \\ {=\frac{a_{1} \cdot t_{1}^{2} }{2} +a_{1} \cdot t_{1} \cdot t-a_{1} \cdot t_{1}^{2} -\frac{a_{1} \cdot t^{2} }{2} +a_{1} \cdot t\cdot t_{1} -\frac{a_{1} \cdot t_{1}^{2} }{2} =2a_{1} \cdot t_{1} \cdot t-\frac{a_{1} \cdot t^{2} }{2} -a_{1} \cdot t_{1}^{2} .\; \; \; (4)} \end{array}\]
График функции (3) — это прямая перпендикулярная оси a_x и проходящая через точку a_x = –a₁. На рисунке 2 — это линия А₂C.
График функции (4) — это парабола ветвями вниз, вершина которой в точке В (t = 2t₁), а значения перемещений в точках A и С равны (см. примечание 2). На рисунке 3 — это линия АC.

См. продолжение