Кинематика из сборника Савченко Н.Е.

[Vlad]

задача 55
не сходится с ответом
у меня получилось квадратное уравнение в конце
\[ t^2+4t-25=0 \]
это правильно?

[Vlad]

71 задача
1 часть задачи, где тело брошено вертикально вверх
тоже квадратное уравнение в конце
\[ t^2-3t-4=0 \]
корни получаются 4 и "-1"
"-1" по смыслу не подходит, время не может же быть отрицательным, а если 4 то с ответом не сходится!
а если предположить что "-1" то всё сходится!почему?

[alsak]

задача 55
не сходится с ответом
у меня получилось квадратное уравнение в конце
\[ t^2+4t-25=0 \]
это правильно?

55. Расстояние между двумя свободно падающими каплями через время t = 2 с после начала падения второй капли было l = 25 м. На сколько позднее начала падать вторая капля? Сопротивлением воздуха пренебречь.
Решение. Уравнения движений капель:

y₁ = y₀ – g⋅t₁²/2,    y₂ = y₀ – g⋅t₂²/2,

где t₁ = t₂ + Δt, т.к. первая капля начала падать на Δt раньше. Расстояние между каплями через t = t₂ = 2 с
 

\[ l = y_{2} - y_{1} = \frac{g}{2} \cdot \left(t_{1}^{2} - t_{2}^{2} \right) =
\frac{g}{2} \cdot \left(\left(t_{2} + \Delta t\right)^{2} - t_{2}^{2} \right) =
\frac{g}{2} \cdot \left(2t_{2} \cdot \Delta t + \Delta t^{2} \right), \]

\[ \Delta t^{2} + 2t_{2} \cdot \Delta t - \frac{2l}{g} = 0,\, \, \, \,
\Delta t^{2} +4\Delta t - 5=0,
 \]

Δt = 1 c и Δt = –5 c. Второй ответ не подходит по смыслу, т.к. получается что первая капля падает на 5 с позже второй.

[alsak]

71 задача
1 часть задачи, где тело брошено вертикально вверх тоже квадратное уравнение в конце
\[ t^2-3t-4=0 \]
корни получаются 4 и "-1"
"-1" по смыслу не подходит, время не может же быть отрицательным, а если 4 то с ответом не сходится! а если предположить что "-1" то всё сходится!почему?

71. Два тела бросают с высоты h = 20 м со скоростью υ₀ = 15 м/с каждое. С какими скоростями тела упадут на землю, если первое тело брошено вертикально вверх, а второе — горизонтально? Считать ускорение свободного падения g = 10 м/с². Сопротивление воздуха не учитывать. Задачу решить без применения закона сохранения энергии.

Решение: Систему отсчёта свяжем с землёй. Ось 0Y направим вертикально вверх, ось 0X по начальному направлению движения тела (рис. 1). Запишем уравнения движения тел (зависимость координаты тела от времени) и проекции скоростей для первого тела:
\[y_{1} =y_{0} +\upsilon _{01y} \cdot t+\frac{g_{y} \cdot t^{2} }{2}, \; \; \; \upsilon _{1y} =\upsilon _{01y} +g_{y} \cdot t,\]
и второго
\[\begin{array}{c} {y_{2} =y_{0} +\upsilon _{02y} \cdot t+\frac{g_{y} \cdot t^{2} }{2} ,} \\ {\upsilon _{2y} =\upsilon _{02y} +g_{y} \cdot t, \; \; \; \; \upsilon _{2x} =\upsilon _{02x} +g_{x} \cdot t,} \end{array}\]
где y₀ = h, υ_01y = υ₀, υ_02y = 0, υ_02x = υ0, g_y = –g, g_x = 0. Тогда
\[\begin{array}{c} {y_{1} =h+\upsilon _{0} \cdot t-\frac{g\cdot t^{2} }{2} ,\; \; (1)\; \; \; \; \;  \upsilon _{1y} =\upsilon _{0} -g\cdot t,\; \; (2)} \\ {y_{2} =h-\frac{g\cdot t^{2} }{2} ,\; \; (3) \; \; \; \; \upsilon _{2y} = -g\cdot t, \; \; (4) \; \; \; \; \upsilon _{2x} =\upsilon _{0} .\; \; (5)} \end{array}\]
Конечную скорость тела будем находить по формуле
\[\upsilon =\sqrt{\upsilon _{x}^{2} +\upsilon _{y}^{2} }. \; \; (6)\]

Для первого тела. Пусть тело упадет на Землю (y₁ = 0) через время t₁. Тогда из уравнения (1) получаем
\[0=h+\upsilon _{0} \cdot t_{1} -\frac{g\cdot t_{1}^{2} }{2} \]
или после подстановки чисел

20 + 15t₁ – 5t₁² = 0.

Получили квадратное уравнение, корни которого t₁ = 4 c и t₁ = –1 c. Второй ответ не подходит по смыслу, т.к. это время до бросания тела. После подстановки t₁ = 4 c в уравнение (2) получаем υ_1y = –25 м/с. Тогда конечная скорость первого тела (υ_1x = 0), с учетом уравнения (6), будет равна
υ₁ = 25 м/с.

Для второго тела. Пусть тело упадет на Землю (y₂ = 0) через время t₂, тогда из уравнения (3) получаем
\[0=h-\frac{g\cdot t_{2}^{2} }{2}, \; \; \; t_{2} =\sqrt{\frac{2h}{g} },\]
t₂ = 2 c.
После подстановки t₂ = 2 c в уравнения (4) и (5) получаем υ_2y = –20 м/с, υ_2х = 15 м/с. Тогда конечная скорость второго тела, с учетом уравнения (6), будет равна
υ₂ = 25 м/с.

Примечание. Эту задачу можно было решить, используя уравнение
\[y=y_{0} +\frac{\upsilon _{y}^{2} -\upsilon _{0y}^{2} }{2g_{y} } .\]

[iliya]

напишите пожалуйста решение задачи №56   

[alsak]

56. Тело свободно падает без начальной скорости с высоты h = 270 м. Разделить эту высоту на 3 части, такие, чтобы на прохождение каждой из них потребовалось бы одно и то же время. Сопротивление воздуха не учитывать.

Решение. Уравнение движения свободно падающего тела

y = h – g⋅t²/2. (1)

Найдем полное время падения t₀ (учтем, что при t = t₀ координата y = 0):
 

\[ h - \frac{g\cdot t_{0}^{2}}{2} = 0,\, \, \, t_{0} = \sqrt{\frac{2h}{g}}. \]

Можно (но не обязательно) подсчитать t₀ = 7,35 c. По условию (рис. ) t₁ = t₂ = t₃ = t₀/3 (= 2,45 c).
Теперь наша задача найти длины отрезков AB, BC и C0. Для этого найдем координаты этих отрезков.
Через время t = t₁ координата тела y = y_B. Тогда из уравнения (1) получаем

y_B = h – g⋅t₁²/2, y_B = 240 м.

Или в общем виде

\[ y_{B} = h - \frac{g}{2} \cdot \frac{t_{0}^{2}}{9} =
h - \frac{g}{2} \cdot \frac{2h}{9g} = \frac{8h}{9}. \]

Через время t = t₁ + t₂ = 2t₁ (t₁ = t₂) координата тела y = y_C. Тогда из уравнения (1) получаем

y_C = h – g⋅4t₁²/2 = h – 2g⋅t₁², y_C = 150 м.

Или в общем виде

\[ y_{B} = h - 2g \cdot \frac{t_{0}^{2}}{9} =
h - 2g \cdot \frac{2h}{9g} = \frac{5h}{9}. \]

Длина отрезка AB = y_A – y_B = h – y_B, AB = 30 м.
Длина отрезка BС = y_B – y_C, BC = 90 м.
Длина отрезка С0 = y_C – 0, C0 = 150 м.
В общем виде длины отрезков сделайте самостоятельно.

[iliya]

напишите пожалуйста решение задачи №73

[alsak]

73. Найти начальную и конечную скорости камня, брошенного горизонтально с высоты H = 5,0 м, если по горизонтали он пролетел расстояние s = 10 м. Сопротивление воздуха не учитывать.

Решение. За тело отсчета выберем точку, лежащую на поверхности земли и на одной вертикали с точкой бросания, ось 0Х направим вправо, ось 0Y — вверх. Тогда y₀ = H, x₀ = 0 (рис. 1).
Запишем уравнения проекций скорости и координаты на выбранные оси. При этом учтем, что ускорение g направлено вертикально вниз.
На ось 0Х: υ_х = υ_0х = υ₀, x = x₀ + υ₀∙t, т.к. a_x = 0.
На оси 0Y: υ_y = υ_0y + g_y⋅t, y = y₀ + υ_0y⋅t + g_y⋅t²/2, где υ_0y = 0, g_y = –g. Тогда υ_y = –g⋅t, y = H – g⋅t²/2.
Обозначим υ₁ — скорость камня в момент касания земли (рис. 2):
 

\[ \upsilon _{1} = \sqrt{\upsilon _{1x}^{2} +\upsilon _{1y}^{2}}. \]

Найдем υ_1х и υ_1у.
Пусть в некоторый момент времени t = t₁ камень упал на землю, тогда y = 0, x = s (по условию):

х = s = υ₀⋅t₁ (1), 0 = H – g⋅t₁²/2 (2), υ_1y = –g⋅t₁ (3).

Решим систему уравнений (1)-(2):
 

\[ \frac{g \cdot t_{1}^{2}}{2} = H,\, \, \,
t_{1} = \sqrt{\frac{2H}{g}} ,\, \, \, \,
\upsilon _{0} = \frac{s}{t_{1}} = s\cdot \sqrt{\frac{g}{2H}}, \]

υ_1х = υ₀ = 10 м/с.
Из уравнения (3) получаем
 

\[ \upsilon _{1y} = -g \cdot \sqrt{\frac{2H}{g}} = -\sqrt{2g \cdot H}. \]

Тогда
 

\[ \upsilon _{1} = \sqrt{\frac{g \cdot s^{2}}{2H} + 2g \cdot H},
 \]

υ₁ = 14 м/с.

[iliya]

напишите пожалуйста решение задачи №78

[alsak]

78. С высоты h над поверхностью земли тело брошено под углом к горизонту со скоростью υ₀. Чему равна скорость, с которой тело падает на землю? Задачу решить без применения закона сохранения энергии. Сопротивление воздуха не учитывать.

Решение. За тело отсчета выберем точку, лежащую на поверхности земли и на одной вертикали с точкой бросания, ось 0Х направим вправо, ось 0Y — вверх. Тогда y₀ = h, x₀ = 0 (рис. 1). Обозначим угол, под которым тело брошено к горизонту, буквой α.
Запишем уравнения проекций скорости и координаты на выбранные оси. При этом учтем, что ускорение g направлено вертикально вниз.
На ось 0Х: υ_х = υ_0х = υ₀⋅cos α (рис. 2), т.к. a_x = 0.
На оси 0Y: υ_y = υ_0y + g_y⋅t, y = y₀ + υ_0y⋅t + g_y⋅t²/2, где υ_0y = υ₀⋅sin α, g_y = –g. Тогда υ_y = υ₀⋅sin α – g⋅t, y = h + υ₀⋅sin α⋅t – g⋅t²/2.
Обозначим υ₁ — скорость камня в момент касания земли (рис. 3):
 

\[ \upsilon _{1} = \sqrt{\upsilon_{1x}^{2} +\upsilon_{1y}^{2}},\;\;\; (1) \]

где υ_1х = υ_0х = υ₀⋅cos α. Найдем υ_1у.
Пусть в некоторый момент времени t = t₁ камень упал на землю, тогда y = 0, υ_у = υ_1y:

υ_1y = υ₀⋅sin α – g⋅t₁ (2), 0 = h + υ₀⋅sin α⋅t₁ – g⋅t₁²/2 (3).

Можно решить квадратное уравнение и найти t₁ из уравнения (3), а затем подставить в уравнение (2). А можно воспользоваться следующим уравнением:
 

\[ \upsilon_{0y} \cdot t_{1} - \frac{g \cdot t_{1}^{2}}{2} =
\frac{\upsilon_{1y}^{2} - \upsilon_{0y}^{2}}{-2g}.
 \]

Тогда из уравнения (3)
 

\[ 0 = h + \frac{\upsilon_{1y}^{2} - \upsilon_{0y}^{2}}{-2g} ,\, \, \,
\upsilon_{1y}^{2} - \upsilon_{0y}^{2} = 2g \cdot h ,\, \, \,
\upsilon_{1y}^{2} = 2g \cdot h + \upsilon_{0y}^{2} =
2g \cdot h + \left(\upsilon_{0} \cdot \sin \alpha \right)^{2}. \]

После подстановки в уравнение (1) получаем:

\[ \upsilon_{1} = \sqrt{\left(\upsilon_{0} \cdot \cos \alpha \right)^{2} +
2g \cdot h + \left(\upsilon_{0} \cdot \sin \alpha \right)^{2}} =
\sqrt{2g \cdot h + \upsilon_{0}^{2} \cdot \left(\cos^{2} \alpha +
\sin^{2} \alpha \right)} = \sqrt{2g \cdot h + \upsilon_{0}^{2}}. \]