При упругом соударении выполняются законы сохранения и импульса и энергии.
Из закона сохранения импульса получаем
\[ m_{1} \cdot \vec{\upsilon}_{10} = m_{1} \cdot \vec{\upsilon}_{1} + m_{2} \cdot \vec{\upsilon}_{2}. \]
Если построить сумму этих векторов (рис. 1), то получим треугольник импульсов (рис. 2). Тогда по теореме косинусов получаем
\[ m_{1}^{2} \cdot \upsilon_{1}^{2} = m_{1}^{2} \cdot \upsilon_{10}^{2} + m_{2}^{2} \cdot \upsilon_{2}^{2} - 2m_{1} \cdot \upsilon_{10} \cdot m_{2} \cdot \upsilon_{2} \cdot \cos \alpha.\;\;\; (1) \]
Из закона сохранения энергии получаем
\[ \frac{m_{1} \cdot \upsilon_{10}^{2}}{2} = \frac{m_{1} \cdot \upsilon_{1}^{2}}{2} + \frac{m_{2} \cdot \upsilon_{2}^{2}}{2}, \, \, \, m_{1} \cdot \upsilon_{10}^{2} = m_{1} \cdot \upsilon_{1}^{2} + m_{2} \cdot \upsilon_{2}^{2}.\;\;\; (2) \]
Решим систему уравнений (1) и (2). Например, из (1) найдем квадрат скорости υ1 и подставим в (2):
\[ \upsilon_{1}^{2} = \upsilon_{10}^{2} + \frac{m_{2}^{2}}{m_{1}^{2}} \cdot \upsilon_{2}^{2} - \frac{2m_{2}}{m_{1}} \cdot \upsilon_{10} \cdot \upsilon_{2} \cdot \cos \alpha, \]
\[ m_{1} \cdot \upsilon_{10}^{2} = m_{1} \cdot \left(\upsilon_{10}^{2} + \frac{m_{2}^{2}}{m_{1}^{2}} \cdot \upsilon_{2}^{2} - \frac{2m_{2}}{m_{1}} \cdot \upsilon_{10} \cdot \upsilon_{2} \cdot \cos \alpha \right) + m_{2} \cdot \upsilon_{2}^{2},
\]
\[ \left(\frac{m_{2}^{2}}{m_{1}} + m_{2} \right) \cdot \upsilon_{2}^{2} - 2m_{2} \cdot \upsilon_{10} \cdot \upsilon_{2} \cdot \cos \alpha = 0.
\]
Найдем корни последнего уравнения:
υ2 = 0 — это противоречит условию задачи, или
\[ \left(\frac{m_{2}^{2}}{m_{1}} + m_{2} \right) \cdot \upsilon_{2} - 2m_{2} \cdot \upsilon_{10} \cdot \cos \alpha = 0, \, \, \, \left(\frac{m_{2}}{m_{1}} +1 \right) \cdot \upsilon_{2} - 2\upsilon_{10} \cdot \cos \alpha = 0, \]
\[ \upsilon_{2} = \frac{2\upsilon_{10} \cdot m_{1}}{m_{2} + m_{1}} \cdot \cos \alpha. \]
